Ákveða

Í línulegri algebru er ákveða marglínuleg vörpun $D:\mathbb {R} _{n}^{n}\rightarrow \mathbb {R}$$D:\mathbb {R} _{n}^{n}\rightarrow \mathbb {R}$, sem varpar n×n ferningsfylki (eða n mörgum n-víðum vigrum) yfir í rauntölu, oft táknuð með det. Fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n er til nákvæmlega ein ákveða á mengi n×n fylkja, sem ákvarðast ótvírætt útfrá eftirtöldum eiginleikum:

1. Vörpunin er línuleg í hverjum vigri.

   $D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i}+{\mathbf {v}}_{i}^{\prime },\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})=D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})+D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i}^{\prime },\ldots ,{\mathbf {v}}_{n}),\quad D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,c{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})=$$D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i}+{\mathbf {v}}_{i}^{\prime },\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})=D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})+D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i}^{\prime },\ldots ,{\mathbf {v}}_{n}),\quad D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,c{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})=$$cD({\mathbf {v}}_{1},{\mathbf {v}}_{2},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})$$cD({\mathbf {v}}_{1},{\mathbf {v}}_{2},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})$,

þar sem c er tala.

1. Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki:

   $D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{j},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})=-D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{j},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})$$D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{j},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})=-D({\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{j},\ldots ,{\mathbf {v}}_{i},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})$

2. Sé ${\mathcal {E}}=\{{\mathbf {e}}_{1},\ldots ,{\mathbf {e}}_{n}\}$${\mathcal {E}}=\{{\mathbf {e}}_{1},\ldots ,{\mathbf {e}}_{n}\}$ venjulegur grunnur fyrir $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ er ákveða fjölskyldunnar 1:

   $D({\mathcal {E}})=1$$D({\mathcal {E}})=1$

Ákveðan $D({\mathbf {v}}_{1},{\mathbf {v}}_{2},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})$$D({\mathbf {v}}_{1},{\mathbf {v}}_{2},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n})$ er táknuð $\det \left|{\begin{matrix}-{\mathbf {v}}_{1}-\\\vdots \\-{\mathbf {v}}_{n}-\\\end{matrix}}\right|$$\det \left|{\begin{matrix}-{\mathbf {v}}_{1}-\\\vdots \\-{\mathbf {v}}_{n}-\\\end{matrix}}\right|$

Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis A, og ákveðan af A er $\det {A}$$\det {A}$

Ákveður 2×2 fylkja

Ákveða 2×2 fylkis er skilgreind sem $D({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})=\det \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right|=ad-bc$$D({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})=\det \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right|=ad-bc$ fyrir vigrana ${\mathbf {x}}={a \choose b}$${\mathbf {x}}={a \choose b}$ og ${\mathbf {y}}={c \choose d}$${\mathbf {y}}={c \choose d}$.

Ákveða 2×2 fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna x og y.

Ákveður 3×3 fylkja

Aðalgrein: Regla Sarrusar

Notast er við reglu Sarrusar við að reikna út ákveðu 3×3 fylkis $A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}$ er skilgreind sem

$det(A)=a\det {\begin{vmatrix}e&f\\h&i\\\end{vmatrix}}-b\det {\begin{vmatrix}d&f\\g&i\\\end{vmatrix}}+c\det {\begin{vmatrix}d&e\\g&h\\\end{vmatrix}}$$det(A)=a\det {\begin{vmatrix}e&f\\h&i\\\end{vmatrix}}-b\det {\begin{vmatrix}d&f\\g&i\\\end{vmatrix}}+c\det {\begin{vmatrix}d&e\\g&h\\\end{vmatrix}}$$=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$$=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$.

Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá 3×3 ákveðu.

Almennar reglur um ákveður

• $\det(A^{c})=\det(A)^{c}$$\det(A^{c})=\det(A)^{c}$
• $\det {AB}=\det {A}\det {B}$$\det {AB}=\det {A}\det {B}$
• $\det {A}\neq 0$$\det {A}\neq 0$ ef og aðeins ef A er andhverfanlegt fylki.
• Séu einhverjar tvær línur í A eins er $\det {A}=0$$\det {A}=0$ (Sjá Hornalínugeranleiki og Reiknirit Gauss)
• Sé einhver lína í A með núll í öllum stökum er $\det {A}=0$$\det {A}=0$
• Sé A n×n efra þríhyrningsfylki er $\det {A}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}$$\det {A}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}$, þ.e. margfeldi stakanna á hornalínunni.
• $\det {A^{-1}}={\frac {1}{\det {A}}}$$\det {A^{-1}}={\frac {1}{\det {A}}}$
• $\det {A^{\mathbf {T}}}=\det {A}$$\det {A^{\mathbf {T}}}=\det {A}$ (sjá bylt fylki)
• $\det {A}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$$\det {A}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$ þar sem að $\lambda _{1}...\lambda _{n}$$\lambda _{1}...\lambda _{n}$ eru eiginvigrar A.
• $A={\frac {1}{\det {A}}}C^{\mathbf {T}}$$A={\frac {1}{\det {A}}}C^{\mathbf {T}}$, þar sem C er hjáþáttafylki A.
• $\det {A}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+b}a_{ib}\det {A_{ib}}=\sum _{i=1}^{n}a_{ib}C_{ib}$$\det {A}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+b}a_{ib}\det {A_{ib}}=\sum _{i=1}^{n}a_{ib}C_{ib}$ $=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+b}a_{bi}\det {A_{bi}}=\sum _{i=1}^{n}a_{bi}C_{bi}$$=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+b}a_{bi}\det {A_{bi}}=\sum _{i=1}^{n}a_{bi}C_{bi}$ fyrir fasta tölu b < n. Þá er $C_{xy}$$C_{xy}$ xy-hjáþáttur fylkisins A, og $A_{xy}$$A_{xy}$ er fylkið A þar þar sem að x-ta lína og y-ti dálkur hafa verið fjarlægð. $a_{xy}$$a_{xy}$ eru þá stakið í x-tu línu, y-ta dálki í A.

Tengt efni

• Regla Sarrusar