Regla Sarrusar

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Regla Sarrusar: heilar hornalínur - óheilar hornalínur

Regla Sarrusar (enska Sarrus' rule eða Sarrus' scheme) er aðferð notuð til að reikna ákveðu 3×3 fylkis. Hún er nefnd í höfuðið á franska stærðfræðinginum Pierre Frédéric Sarrus.

Ef 3x3 fylkið M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} er tekið sem dæmi þá væri hægt að reikna ákveðu þess með eftirfarandi skema:

Endurtaka skal fyrstu tvo dálka fylkisins fyrir aftan þriðja dálkinn, svo fylkið hafi 5 dálka allt í allt. Leggðu svo saman margfeldi skálínanna sem fara niður (heila skálínan) og dragðu frá margfeldi skálínunnar sem fer upp (óheila skálínan). Úr þessu fæst:

|M|=\begin{vmatrix} {\color{MidnightBlue}a_{11}} & {\color{CadetBlue}a_{12}} & {\color{DarkOrchid}a_{13}} \\  {\color{DarkOrchid}a_{21}} & {\color{MidnightBlue}a_{22}} & {\color{CadetBlue}a_{23}} \\ {\color{CadetBlue}a_{31}} & {\color{DarkOrchid}a_{32}} & {\color{MidnightBlue}a_{33}} \end{vmatrix} = {\color{MidnightBlue}a_{11}a_{22}a_{33}}+{\color{CadetBlue}a_{12}a_{23}a_{31}}+{\color{DarkOrchid}a_{13}a_{21}a_{32}}-{\color{CadetBlue}a_{31}}{\color{MidnightBlue}a_{22}}{\color{DarkOrchid}a_{13}}-{\color{DarkOrchid}a_{32}}{\color{CadetBlue}a_{23}}{\color{MidnightBlue}a_{11}}-{\color{MidnightBlue}a_{33}}{\color{DarkOrchid}a_{21}}{\color{CadetBlue}a_{12}}

Líkt skema sem byggir á skálínum virkar fyrir 2×2 fylki: |M|=\begin{vmatrix} {\color{MidnightBlue}a_{11}} & {\color{CadetBlue}a_{12}}  \\  {\color{CadetBlue}a_{21}} & {\color{MidnightBlue}a_{22}} \end{vmatrix} = {\color{MidnightBlue}a_{11}a_{22}} - {\color{CadetBlue}a_{21}a_{12}}

Dæmi[breyta]

2×2 fylki[breyta]

Fyrsta dæmið[breyta]

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

A=\begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}

Þá er margfeldi heilu skálínunnar (-2)\times1 eða -2 og margfeldi óheilu skálínunar er 7\times5 sem er jaft og 35. Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst -2-35:

|A|=\begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = -2 -35 = -37

og því er ákveða fylkisins A -37.

Annað dæmið[breyta]

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & -14 \end{pmatrix}

Þá er margfeldi heilu skálínunnar 1\times(-14) eða -14 og margfeldi óheilu skálínunar er 5\times0 sem er auðvitað 0. Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst -14-0:

|B|=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & -14 \end{vmatrix} = -14-0 = -14

og því er ákveða fylkisins B -14.

3×3 fylki[breyta]

Sem dæmi má taka 3×3 fylkið

C=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 \\  6 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix}

Og þá er margfeldi skálínanna sem voru heilar laggðar saman þar sem sú fyrsta er (-1)\times4\times1 eða -4, sú önnur er 3\times2\times(-2) sem er jaft og -12 og sú síðasta er 5\times6\times5 sem er 150. Svo er margfeldi óheilu skálínanna dregnar frá, en fyrsta skálínan er (-2)\times4\times5 eða -40, sú önnur er 5\times2\times(-1) eða -10 og sú síðasta er 1\times6\times3 eða 18.

|C|=\begin{vmatrix} -1 & 3 & 5 \\  6 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{vmatrix}

og

|C| = ((-1)\times4\times1+3\times2\times(-2)+5\times6\times5)-((-2)\times4\times5+5\times2\times(-1)-1\times6\times3)

sem er jafnt og

|C|= (-4 -12 +150 ) - (-40-10+18) = (134) - (-32) = 134 + 32 = 166

og því er ákveða fylkisins C jöfn 166.

Heimildir[breyta]