Innfeldisrúm

Innfeldisrúm er vigurrúm með innfeldi. Ef innfeldisrúmið er fullkomið m.t.t. firðar framkölluð frá innfeldinu, þá kallast það Hilbert-rúm.

Skilgreining

Látum $\mathbb {F}$ vera svið sem er annaðhvort rauntölusviðið $\mathbb {R}$ eða tvinntölusviðið $\mathbb {C}$.

Látum $V$ vera vigurrúm yfir $\mathbb {F}$ og látum $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ vera innfeldi skilgreint yfir vigurrúm $V$, þ.e.a.s. vörpun $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {F}$ þ.a. eftirfarandi skilyrði eru uppfyllt fyrir öll $x,y,z\in V$ og $a\in \mathbb {F}$:

1. $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$
2. $\langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle$
3. $\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$
4. $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ og $\langle x,x\rangle \geq 0$
5. $\langle x,x\rangle =0$ ef og aðeins ef $x=0$

Þá er $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$, vigurrúm $V$ með innfeldi $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, kallað innfeldisrúm.

Dæmi

Rauntölur

Rauntalnamengið $\mathbb {R}$ ásamt innfeldi $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skilgreint sem ${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=xy} fyrir öll $x,y\in \mathbb {R}$ er dæmi um innfeldisrúm.

Evklíðsk rúm

$\mathbb {R} ^{n}$ ásamt innfeldi $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skilgreint sem ${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=x^{T}y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}} fyrir öll $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ er dæmi um innfeldisrúm.

Tvinntöluhnitrúm

$\mathbb {C} ^{n}$ ásamt innfeldi $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skilgreint sem ${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=y^{H}x=\sum _{i=1}^{n}{\overline {y_{i}}}x_{i}} fyrir öll $x,y\in \mathbb {C} ^{n}$ er dæmi um innfeldisrúm.

Samfelld föll skilgreind á bili

Látum $C([a,b])$ vera mengi allra samfelldra tvinntölufalla skilgreind á bilinu $[a,b]$.

$C([a,b])$ er einnig vigurrúm og myndar innfeldisrúm með innfeldinu $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skilgreint sem ${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}dt} fyrir öll $f,g\in C([a.b])$.

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.