LU-þáttun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

LU-þáttun er aðferð í stærðfræði til þess að brjóta fylki niður í tvö fylki, annarsvegar fylki á efra stallaformi, sem kallað er U, og hinsvegar andhverfanlegt fylki sem kallað er L.

Ef að A er fylki og markmiðið er að LU-þátta A, þá eru notaðar línuaðgerðir samkvæmt reikniriti Gauss til þess að koma fylkinu A yfir á efra stallað form, sem er fylkið U, en hver línuaðgerð er skráð í fylki Ei, þar sem að i er númer línuaðgerðarinnar. Eingöngu má leggja margfeldi lína saman, en víxlun raða og margföldun raða með tölu er ekki leyfð.

Þegar fylkin E_1, E_2, ... E_n eru fundin skal margfalda andhverfur þeirra saman, en þar sem að E eru frumfylki eru þau andhverfanleg og margfeldi þeirra er jafnframt andhverfanlegt.

L = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_n^{-1}

Hagnýtingar LU þáttunar[breyta]

Þegar að leysa á línulegt jöfnuhneppi A\bold{x} = \bold{b} fyrir marga mismunandi vigra b er hefðbundin Gauß-Jordan eyðing mjög tímafrek. Þá er fylkið A LU-þáttað og A = LU. Vigur er skilgreindur \bold{y} = U\bold{x}, og jöfnuhneppið L\bold{y} = \bold{b} er leyst. Þar sem að L er andhverfanlegt ferningsfylki, og jafnframt neðra þríhyrningsfylki (sökum þess að allar línuaðgerðirnar eru skráðar á neðri þríhyrningi) eru allar margföldunaraðgerðir einfaldaðar til muna.

Þá er jöfnuhneppið U\bold{y} = \bold{b} er nú leyst fyrir x, þar sem að y er nú lausn á L\bold{y} = \bold{b}.

Þessi aðferð er mikið notuð í tölvum, þar sem að hún krefst færri reikniaðgerða en hefðbundin lausn ef að leysa á mörg jöfnuhneppi.

Ýtarefni[breyta]