Heildun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Heildun (einnig þekkt sem tegrun úr enska orðinu integration, sjá samheiti innan stærðfræðinnar) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reikna ákveðið heildi á tilteknu bili með því að finna fyrst stofnfall fallsins sem heilda skal og taka síðan mismun stofnfallsins í endapunktum bilsins.

Dæmi: Fallið, sem heilda skal,: f(x) = ax^n, á sér stofnfall,

\int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c, þar sem c er óskilgreindur fasti.

(Athuga ber að ekki er unnt að finna stofnfall nema í undantekningartilvikum.)

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið ‚summa‘ en Leibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildunar nefnist deildun.

Heildunarreglur[breyta]

Dæmi[breyta]

Heildum fallið f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} með tilliti til x. Það er ritað þannig:

\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

 = \int \sqrt{x}^{-1} dx = \int \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} dx = \int x^{-\frac{1}{2}}dx

Þá getum við heildað skv reglunni:

\int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c

þannig að:

\int x^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{1} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C

svo niðurstaðan er:

\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C

Heildunaraðferðir[breyta]