Fall (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Í stærðfræði á orðið fall yfirleitt við vörpun, þ.a. fyrir sérhvert stak í formengi vörpunarinnar er til eitt og aðeins sitt stak í bakmengi. Stundum eru þó orðin „fall“ og „vörpun“ notuð sem samheiti. Föll eru mikilvæg í öllum magnbundnum vísindinum. Fallafræðin fjallar um föll.

Skilgreining[breyta]

Fall f, með formengi A og bakmengi B, lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða, óháðu breytunnar x og háðu breytunnar y: f: A \to B. Fall f úthlutar þá sérhverju staki x í A nákvæmlega einu staki í B, sem við táknum með f(x), og segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr B fallið tekur í sérhverju staki í A. Athugið að fleiri en eitt stak í A geta tekið sama gildið í B.

Sem dæmi, ef bæði formengi og bakmengi falls f eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar f sérhverri rauntölu x annarri rauntölu, sem er þá táknuð f(x). Við segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Myndmengi falls inniheldur öll hugsanleg gildi í bakmenginu sem f getur varpar einhverju staki formengisins í. M.ö.o. er myndmengi falls f mengi allra staka y í bakmengi þegar til er stak x í formenginu þ.a. f(x) = y.

Fall er sagt eintækt ef sérhver tvö ólík stök í formenginu taka ólík gildi í myndmenginu.

Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt. Fall er sagt gagntækt ef það er bæði „átækt“ og „eintækt“.

Myndræn líking[breyta]

Fall mætti líta á sem nokkurskonar ímyndaða stærðfræðilega „vél“. Líkt og aðrar vélar tekur hún eitthvað inn á sig, og skilar einhverju frá sér - bílvélar sem dæmi taka inn bensín og loft og skila frá sér hreyfiorku og hita. Dæmi um fall f, sem tvöfaldar sérhverja tölu x: f(x) = 2x, þ.a. f(4) = 8, en þar er „4“ inntak fallsins, og „8“ úttakið. Fallið sjálft er jafngilt aðgerðinni 2•x, þar sem „•“ tákna margföldun.

Algeng föll[breyta]

Fastaföll[breyta]

Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið f: RR;f(x) := 1, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.

Margliðuföll[breyta]

Margliðufall er af gerðinni f: RR :  f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, þar sem n er náttúrleg tala og stuðlarnir eru rauntölur eða tvinntölur.

Myndræn framsetning[breyta]

Línurit er myndræn framsetning á ferli falls, nánar tiltekið á tvenndunum (x, y), en algengast er að nota rétthyrnt hnitakerfi, þar sem óháða breytan markast af x-ás, en sú háða af y-ás.

Fallahugtök og tengt efni[breyta]

Heimildir[breyta]

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.