Setning Taylors

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Jump to navigation Jump to search
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Setning Taylors gefur okkur kleift að rita k-diffranlegt raungilt fall sem summu af k-ta stigs Taylor margliðu fallsins í kringum gefinn punkt og tiltekins skekkjuliðs. Ef við viljum nota k-ta stigs Taylor margliðuna sem nálgun, tiltekin form af setningunni gefa okkur kleift um að meta skekkju nálguninnar.

Fyrir raunfáguð föll, Taylor margliðan á gefnum punkti er stýfing af Taylor röð þess, sem fullkomlega ákvarðar fallið í tilteknu nágrenni punktsins. Það er hægt að hugsa þetta sem útvíkkun á línulegri nálgun, og tilfellið k=2 er oft kallað annars-stigs nálgun. Til eru mismunandi framsetningar á Taylor setningunni og ekki eru allir sammála um hvernig á að setja hana fram.

Setning Taylors er nefnd eftir stærðfræðinginn Brook Taylor sem uppgötvaði tiltekna útgáfu af setningunni árið 1712 og birti hana árið 1715. Taka skal þó fram að James Gregory uppgötvaði sömu setninguna 40 árum áður. Næstum eina öld eftir að Taylor birti setninguna leiddu Lagrange og Cauchy út nálganir á skekkjuliðinum[1].

Setning Taylors er venjulega kennd í byrjunarkúrsum í örsmæðareikningi[2] og tölulegri greiningu[3].

Hægt er að alhæfa setningu Taylors fyrir föll af mörgum breytistærðun og vigurföll. Þessi alhæfing er undirstaða jets, sem birtist í deildarúmfræði og hlutafleiðujöfnum.

Setning Taylors fyrir eina raunbreytistærð[breyta | breyta frumkóða]

Til eru nokkrar framsetningar á setningu Taylors. Hér setjum við fram þrjár framsetningar sem hafa mismunandi skilyrði.

Einfalda framsetningin[breyta | breyta frumkóða]

Látum vera heiltala og látum vera fall sem er -diffranlegt í punktinum . Þá er til fall þ.a.

og .

Framsetning með afleiðuskekkju[breyta | breyta frumkóða]

Látum vera heiltala og látum vera fall sem er -diffranlegt á opna bilinu . Þá er til punktur þ.a.

Framsetning með heildisskekkju[breyta | breyta frumkóða]

Látum vera heiltala og látum vera fall sem er -diffranlegt á opna bilinu . Gerum ráð fyrir að sé samfellt á lokaða bilinu . Þá er til punktur þ.a.

Ath. að það er hægt að umrita skekkjuliðinn á eftirfarandi form:

Skekkjumat á Taylor nálgunum[breyta | breyta frumkóða]

Skekkjumat með afleiðuskekkjuframsetningunni[breyta | breyta frumkóða]

Gerum ráð fyrir að við höfum fall sem uppfyllir öll skilyrðin í afleiðuskekkjuframsetningunni á setningu Taylors.

Þá má rita .

Látum . Segjum nú að við viljum nota sem nálgun fyrir og meta undirskorðuna og yfirskorðuna á skekkjunni.

Þ.e.a.s. við viljum finna undirskorðuna og yfirskorðuna á skekkjunni .

Ef þá .

Ef , þá getum við yfirskorðað algildi skekkjunnar á eftirfarandi máta: .

Tenglar[breyta | breyta frumkóða]

Tilvísanir[breyta | breyta frumkóða]

  1. Weisstein, Eric W. „Taylor's Theorem“. mathworld.wolfram.com (enska). Sótt 21. mars 2020.
  2. „3. Afleiður — Stærðfræðigreining I (STÆ104G) 2018“. edbook.hi.is. Sótt 21. mars 2020.
  3. „1. Inngangur — Töluleg greining (STÆ405G) 0.1“. edbook.hi.is. Sótt 21. mars 2020.