Markgildi

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Markgildi er grundvallarhugtak í stærðfræðigreiningu. Hugtakið kemur gjarnan fyrst við sögu í menntaskóla þegar innleiða á deildun raungildra falla af einni breytistærð. Þá er sá skilningur lagður í orðið að fall hafi markgildi M í ákveðnum punkti a ef hægt er að hugsa sér að þegar breytistærðin x nálgast punktinn a þá nálgist fallgildið M. Hugmyndin um markgildi er svo notuð til þess að skilgreina samfelldni og afleiður. Markgildi kemur fyrir í ýmsu samhengi innan stærðfræðinnar, svo sem geta vigurgild föll af mörgum breytistærðum, runur og raðir öll haft markgildi. Almennasta skilgreining hugtaksins kemur úr grannfræði.

Skilgreining markgildis

Þegar fjarlægð x er minni en δ frá c er fjarlægð f(x) frá L minni en ε.

Til eru ýmsar skilgreiningar á markgildi sem eru misjafnlega almennar og nákvæmar. Orðalagið sem notað er í inngangi þessarar greinar er ekki nægilega nákvæmt til þess að skera úr um hvort til dæmis kennifall ræðra talna (f = χℚ) eigi sér markgildi í nokkrum punkti. Hér eru nokkrar nákvæmari skilgreiningar:

Skilgreining á markgildi raungildra falla af einni breytistærð

Látum f(x) vera raungilt fall af einni breytistærð, þ.e. X→ℝ: x → f(x) og X úr ℝ. Við segjum að f(x) hafi markgildið L þegar x stefnir á c, táknað:

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

ef fyrir sérhvert ε>0 er til δ>0 svoleiðis að |f(x) - L|<ε fyrir öll x þannig að 0<|x-c|<δ.

Vert er að taka fram að f(c) þarf ekki að vera skilgreint. Þessi skilgreining nefnist epsilon-delta skilgreining á markgildi og er sú formlega skilgreining sem Karl Weierstrass setti fram á 19. öld.

Skilgreining á markgildi runa

Runa a_n er sögð hafa markgildi L, táknað a_n→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að |a_n - L|<ε. Runa sem hefur markgildi er sögð vera samleitin en annars ósamleitin.

Með sambærilegum hætti má skilgreina markgildi runu í firðrúmi: Runa a_n er sögð hafa markgildi L, táknað a_n→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að ρ(a_n,L)<ε. Þar sem ρ(x,y) táknar firð í gefnum firðrúmi. Þetta mætti orða sem svo að gera megi fjarlægðina á milli a_n og L svo litla sem vera skal með því að velja nægilega stórt N.

Einföld dæmi um markgildi raungildra falla

$\lim _{x\rightarrow 2}f(x)=\lim _{x\rightarrow 2}2x=4$

Táknmálið þýðir að þegar x nálgast töluna 2 þá stefnir fallgildið f(x) = 2x á töluna 4. Markgildið er því 4 í þessu tilfelli.

Sum föll hafa markgildi þegar x stefnir á óendanlegt:

$\lim _{x\to \infty }{f(x)}=\lim _{x\to \infty }{1 \over 1-x}=0$

Hins vegar hefur sama fall ekki markgildi þegar x stefnir á 1.

Sjá einnig

• (ε,_δ)-skilgreining á markgildi
• Aðfella
• Þéttipunktur

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.