Samfelldni

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Samfelldni er mikilvægt hugtak í örsmæðarreikningi og grannfræði. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.

Continuous function (is).svg

Samfelldni raungilds falls[breyta]

Raungilt fall  f: X \rightarrow Y , sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið \lim_{x\to y}f(x) sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.

\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y).

Samfelldni í grannrúmi[breyta]

Fyrir almennt grannrúm gildir að fall  f: X \rightarrow Y er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi  U \in Y gildir að  f^{-1}(U) er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a.  f(U) \subset V .

Samfelldni í firðrúmi[breyta]

Ef (X,d_x), (Y,d_y) eru firðrúm er fallið  f: X \rightarrow Y sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a.  d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon .

Fyrir venjulegu firðina d(x,y) = |x - y| á rauntalnaásnum er skilgreiningin jafngild sígildri " \epsilon - \delta " skilgreiningu á samfelldni, sem sett er fram með eftirfarandi hætti:

\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in A : |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon.

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.