Meðalgildissetningin

Fyrir sérhvert fall, sem samfellt er á bilinu [a, b] og diffranlegt á bilinu (a, b) er til minnst eitt gildi, c (eða t) á bilinu (a, b) þannig að sniðillinn sem tengir saman endapunkta bilsins [a, b] sé samsíða snertilínu við f(x) í x = c = t.

Meðalgildissetningin er mikilvæg setning í örsmæðareikningi sem segir í stuttu máli að snertill þjáls ferils á gefnu bili er í einhverjum punkti samsíða sniðli fallsins. Lagrange setti regluna fram á 18. öld, en Cauchy setti hana stuttu síðar fram í almennara formi.

Hægt er að túlka regluna á eftirfarandi hátt: Ef bíl er ekið 100 kílómetra vegalengd á klukkustund þá hefur bílinn farið yfir á 100km/klst að meðaltali. Samkvæmt því ætti hann á einhverjum tímapunkti að hafa ekið á nákvæmlega hraðanum 100km/klst. Þ.e. ef hann hefur ekki haldið nákvæmlega hraðanum 100km/klst alla leið hlýtur hann að hafa keyrt hægar en 100km/klst stundum og stundum hraðar.

Almennt séð segir setningin að þegar maður hefur fall f : [a, b] → R sem er samfellt á lokaða bilinu [a, b] og deildanlegt á opna bilinu (a, b), þá er til eitthvert c á milli a og b þ.a.

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Hérna táknar $f'(c)$ afleiðu fallsins f í punktinum c og ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ táknar meðal breytingu á fallinu yfir bilið [a, b] eins og beina línan sýnir á sýnimyndinni til hægri.

Til eru mismunandi útgáfur af þessari setningu og eru þær listaðar hér fyrir neðan.

Meðalgildisregla Cauchy

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Myndræn túlkun á reglunni.

Gerum ráð fyrir að f og g séu deildanleg föll á bilinu [a,b] og að g'(x) sé aldrei núll. Þá er til t ∈ ]a,b[ þannig að:

${\frac {f'(t)}{g'(t)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

Sönnun

Sönnunin byggir á skilning á deildun og reglu Rolles.

Skilgreinum nýtt fall G(x):

$G(x)=(g(b)-g(a))(f(x)-(fa))-(g(x)-g(a))(f(b)-f(a))$

Þar sem G(a)=0 og G(b)=0 er til tala t ∈ ]a,b[ svoleiðis að G'(t)=0. Nú er G'(x):

$(g(b)-g(a))f'(t)-g'(t)(f(b)-f(a))=0\Leftrightarrow (g(b)-g(a))f'(t)=g'(t)(f(b)-f(a))$

Látum x=t og við fáum:

$G'(t)=(g(b)-g(a))f'(t)-g'(t)(f(b)-f(a))$

Þar sem g' er aldrei núll á bilinu ]a,b[ og g(a) ≠ g(b) getum við deilt og fengið:

${\frac {f'(t)}{g'(t)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$

QED

Meðalgildisregla Cauchy's er einnig stundum kölluð útvíkkaða meðalgildissetning.

Tenglar

• „Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna?“. Vísindavefurinn.