Brotaregla

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Brotaregla[1] eða hlutfallsregla[1] er regla í örsmæðareikningi til að finna afleiðu sem er kvóti (hlutfall) tveggja annarra falla, sem eru diffranleg.

Ef hægt er að skrifa fallið f(x) sem

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

þar sem h(x)0, þá segir reglan að afleiðan af g(x)/h(x) jafngildi:

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.

Það er að segja að ef öll x í einhverju opnu mengi sem innihalda töluna a fullnægja því að h(x)0; og að g'(a) og h'(a) séu bæði ti þá er f'(a) til og jafngildir:

f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{[h(a)]^2}.

Dæmi[breyta]

Dæmi 1[breyta]

Til að finna afleiðuna af

f(x) = \frac{2}{x+1}

þar sem við segjum að

g(x) = 2
h(x) = x+1

en þá er afleiðan af g(x) núll, og afleiðan af h(x) h'(x) = 1.

Afleiðan af f(x) er þá ákveðin á eftirfarandi hátt:

f'(x) = \frac {\left(0 \cdot (x+1) \right) - \left(2 \cdot 1 \right)} {\left(x+1\right)^2} = \frac{- 2}{(x+1)^2} = \frac{-2}{x^2+2x+1}

og þá sést að afleiðan af f(x)\frac{-2}{x^2+2x+1}.

Dæmi 2[breyta]

Afleiðan af (4x - 2)/(x^2 + 1) þar sem við segjum að

g(x) = 4x - 2
h(x) = x^2 + 1

er:

\begin{align}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\right] &= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\&= \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} &= \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end{align}

Afleiða \sin(x)/x^2 (þegar x ≠ 0) er hliðstæða dæmisins að ofan og jafngildir:

\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}

Dæmi 3[breyta]

Annað dæmi er:

f(x) = \frac{2x^2}{x^3}

þar sem við segjum að

g(x) = 2x^2
h(x) = x^3

en þá er afleiðan af g(x) jöfn g'(x) = 4x og afleiðan af h(x) jöfn og h'(x) = 3x^2.

Afleiðan af f(x) er þá ákveðin á eftirfarandi hátt:

f'(x) = \frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2} = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6} = \frac{-2x^4}{x^6} = -\frac{2}{x^2}

Hægt er að athuga þetta með því að nota veldisvísaregluna og veldisregluna:

f(x) = \frac{2x^2}{x^3} = \frac{2}{x} = 2x^{-1}

og þegar maður diffrar f(x) = 2x^{-1} fæst:

f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}.

Tilvísanir[breyta]

Tengt efni[breyta]