Afleiða (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
(Endurbeint frá Diffrun)
Jump to navigation Jump to search
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Afleiða falls af rauntölubreytistærð er mælikvarði á hve hratt fallgildið (úttak fallsins) breytist með tillit hvernig breytistærð (inntak fallsins) þess er hnikað til. Afleiður eru undirstöðuverkfæri örsmæðareiknings og koma mikið fyrir í ýmsum vísindagreinum eins og eðlisfræði. Dæmi um eðlisfræðilega hagnýtingu er að afleiðan af staðsetningu hreyfandi hlutar m.t.t. tíma er hraði hlutarins, þ.e.a.s. hve hratt staðsetningin hlutarins breytist þegar tíminn líður á.

Afleiða falls af einni breytistærð fyrir valið inntaksgildi, þegar það er til, er hallatala snertilsins á feril fallsins í þeim punkti. Snertillinn er besta línulega nálgunin á fallinu nær þessu inntaksgildi. Vegna þess er afleiða oft lýst sem augnablikshraði, þ.e.a.s. hlutfallið milli augnabliksbreytingu í háðu breytunni (fallagildis) og augnabliksbreytingu óháða breytunnar (breytistærðar).

Afleiður falla eru fundin með aðgerð sem kallast deildun (líka oft kölluð diffrun). Öfuga aðgerðin kallast öfug deildun (óákveðin heildun), og snýst um að finna stofnfall. Undirstöðusetning örsmæðareiknings tengir saman stofnföll og heildun. Deildun og heildun eru tvær grunnmeginaðferðir í örsmæðareikningi með einni breytistærð.

Skilgreining[breyta | breyta frumkóða]

Rithættir[breyta | breyta frumkóða]

Tveir mismunandi rithættir eru venjulega notaðir fyrir afleiðureikning. Þessir rithættir eru Leibniz rithátturinn sem er kenndur við Gottfried Wilhelm von Leibniz, og Lagrange rithátturinn sem er kenndur við Joseph-Louis Lagrange.

Í Leibniz rithættinum er örsmæðabreyting á er táknuð sem og afleiðan af m.t.t. er skrifuð sem sem gefur til kynna hlutfall milli tveggja örsmæðastærða.

Í Lagrange rithættinum táknum við afleiðu fallsins m.t.t. breytistærðar sem eða . Lagrange rithátturinn er stundum ranglega kenndur við Newton.

Formleg skilgreining[breyta | breyta frumkóða]

Látum vera raungilt fall skilgreint á opnu bilinu í kringum punktinn . Ef eftirfarandi markgildi er til:

þá er sagt vera deildanlegt (diffranlegt) í punktinum og afleiða í punktinum er jafngilt markgildinu. Þ.e.a.s.

þar sem er notað til að tákna afleiðu í punktinum (Lagrange rithátturinn).

Hins vegar, ef markgildið er ekki til, þá er sagt vera ódeildanlegt (ódiffranlegt) í punktinum og að það sé ekki til afleiða fyrir í punktinum .

Annað form markgildisins[breyta | breyta frumkóða]

Stundum eru afleiður skilgreindar með eftirfarandi markgildi í stað markgildisins sem er gefið í formlegu skilgreiningunni fyrir ofan:

Athugið að þetta markgildi er jafngilt markgildinu að ofan þ.a. skilgreiningarnar með þessu eða fyrra markgildinu eru jafngild.

Eiginleikar afleiða[breyta | breyta frumkóða]

Tengsl milli samfelldni og deildanleika falla[breyta | breyta frumkóða]

Ef fall er deildanlegt í punkti , þá er það líka samfellt í punkti .

Athugið hins vegar að það öfuga gildir ekki alltaf. Þ.e.a.s. ef fall er samfellt í punkti , þá er það ekki endilega deildanlegt í punkti . Til dæmis má nefna að algildisfallið er samfellt en ekki diffranlegt í punkti og Weierstrassfallið sem er samfellt en ekki deildanlegt á öllum rauntalnaásnum.

Hærri-stigs afleiður[breyta | breyta frumkóða]

Látum vera deildanlegt fall og látum vera afleiða þess. Afleiða er rituð sem með rithætti Lagrange, ef afleiðan sjálf ef deildanleg, og kallast seinni-stigs afleiða . Á sama hátt er afleiða seinni afleiðunnar rituð sem , ef seinni afleiðan er sjálf deildanleg, og kallast þriðja-stigs afleiða . Þannig kolli af kolli má skilgreina -ta stigs afleiðuna af sem afleiðuna af -ta-stigs afleiðu , ef hún er til, og hún er rituð sem með rithætti Lagrange. Gefið að þær eru til, eru kallaðar hærri-stigs afleiður.

Beygjuskilspunktar[breyta | breyta frumkóða]

Punktar þar sem seinni-stigs afleiða falls breytir um formerki kallast beygjuskilspunktur. Á beygjuskilspunktinum er seinni-stigs afleiðan annað hvort 0 eða ekki til. Á beygjuskilspunkti færist fall frá því að vera kúpt yfir í að vera hvelft, eða öfugt.

Reiknireglur[breyta | breyta frumkóða]

Hægt er að reikna afleiðu fall útfrá markgildisskilgreiningunni. Hins vegar er hægt að nýta sér styttri leiðir til að reikna afleiður með því að notfæra sér þekktar afleiður algengra falla ásamt deildunarreglum fyrir samsett föll.

Afleiður algengra falla[breyta | breyta frumkóða]

Veldaföll[breyta | breyta frumkóða]

Fallið þar sem er rauntala hefur afleiðu .

Vísis- og lograföll[breyta | breyta frumkóða]

  • Fallið hefur afleiðu .
  • Fallið hefur afleiðu .
  • Fallið hefur afleiðu fyrir öll .
  • Fallið hefur afleiðu fyrir öll .

Hornaföll[breyta | breyta frumkóða]

  • Fallið hefur afleiðu .
  • Fallið hefur afleiðu .
  • Fallið hefur afleiðu .

Andhverf hornaföll[breyta | breyta frumkóða]

  • Fallið hefur afleiðu fyrir öll .
  • Fallið hefur afleiðu fyrir öll .
  • Fallið hefur afleiðu .

Deildunarreglur fyrir samsett föll[breyta | breyta frumkóða]

Fastareglan[breyta | breyta frumkóða]

Ef er fasti, þá er .

Summureglan[breyta | breyta frumkóða]

Látum þar sem og eru fastar. Þá er afleiðan .

Margfeldisreglan[breyta | breyta frumkóða]

Látum . Þá er afleiðan .

Brotareglan[breyta | breyta frumkóða]

Látum . Þá er afleiðan fyrir öll föll og þar sem .

Keðjureglan[breyta | breyta frumkóða]

Látum . Þá er afleiðan .

Tenglar[breyta | breyta frumkóða]

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.