Ákveða

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Í línulegri algebru er ákveða marglínuleg vörpun D: \mathbb{R}^n_n \rightarrow \mathbb{R}, sem varpar n×n ferningsfylki (eða n mörgum n-víðum vigrum) yfir í rauntölu, oft táknuð með det. Fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n er til nákvæmlega ein ákveða á mengi n×n fylkja, sem ákvarðast ótvírætt útfrá eftirtöldum eiginleikum:

  1. Vörpunin er línuleg í hverjum vigri.
    D(\bold{v}_1, \ldots ,\bold{v}_i + \bold{v}_i^\prime, \ldots, \bold{v}_n) = D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) + D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i^\prime, \ldots , \bold{v}_n)
, \quad
D(\bold{v}_1, \ldots , c\bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) =cD(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots, \bold{v}_n),

þar sem c er tala.

  1. Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki:
    D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_i,\ldots , \bold{v}_j, \ldots , \bold{v}_n) = -D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_j, \ldots, \bold{v}_i, \ldots, \bold{v}_n)
  2. \mathcal{E} = \{ \bold{e}_1,\ldots , \bold{e}_n \} venjulegur grunnur fyrir \mathbb{R}^n er ákveða fjölskyldunnar 1:
    D(\mathcal{E}) = 1

Ákveðan D(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots , \bold{v}_n) er táknuð \det\left|\begin{matrix} 
  - \bold{v}_1 - \\ 
  \vdots \\
  - \bold{v}_n - \\
\end{matrix}\right|

Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis A, og ákveðan af A er \det{A}

Ákveður 2×2 fylkja[breyta]

Ákveða 2×2 fylkis er skilgreind sem D(\bold{x}, \bold{y}) = \det\left|\begin{matrix} 
a & b \\
c & d \\
\end{matrix}\right| = ad - bc fyrir vigrana \bold{x} = {a \choose b} og \bold{y} = {c \choose d}.

Ákveða 2×2 fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna x og y.

Ákveður 3×3 fylkja[breyta]

Aðalgrein: Regla Sarrusar

Notast er við reglu Sarrusar við að reikna út ákveðu 3×3 fylkis A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix} er skilgreind sem

det(A) = a \det\begin{vmatrix}e & f \\ h & i \\ \end{vmatrix} - b \det\begin{vmatrix}d & f \\ g & i \\ \end{vmatrix} + c \det\begin{vmatrix}d & e \\ g & h \\ \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg.

Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá 3×3 ákveðu.

Almennar reglur um ákveður[breyta]

Tengt efni[breyta]