Ákveða

Í línulegri algebru er ákveða marglínuleg vörpun $D: \mathbb{R}^n_n \rightarrow \mathbb{R}$, sem varpar n×n ferningsfylki (eða n mörgum n-víðum vigrum) yfir í rauntölu, oft táknuð með det. Fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n er til nákvæmlega ein ákveða á mengi n×n fylkja, sem ákvarðast ótvírætt útfrá eftirtöldum eiginleikum:

1. Vörpunin er línuleg í hverjum vigri.

   $D(\bold{v}_1, \ldots ,\bold{v}_i + \bold{v}_i^\prime, \ldots, \bold{v}_n) = D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) + D(\bold{v}_1, \ldots , \bold{v}_i^\prime, \ldots , \bold{v}_n) , \quad D(\bold{v}_1, \ldots , c\bold{v}_i, \ldots , \bold{v}_n) =$$cD(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots, \bold{v}_n)$,

þar sem c er tala.

1. Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki:

   $D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_i,\ldots , \bold{v}_j, \ldots , \bold{v}_n) = -D(\bold{v}_1, \ldots, \bold{v}_j, \ldots, \bold{v}_i, \ldots, \bold{v}_n)$

2. Sé $\mathcal{E} = \{ \bold{e}_1,\ldots , \bold{e}_n \}$ venjulegur grunnur fyrir $\mathbb{R}^n$ er ákveða fjölskyldunnar 1:

   $D(\mathcal{E}) = 1$

Ákveðan $D(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \ldots , \bold{v}_n)$ er táknuð $\det\left|\begin{matrix} - \bold{v}_1 - \\ \vdots \\ - \bold{v}_n - \\ \end{matrix}\right|$

Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis A, og ákveðan af A er $\det{A}$

Ákveður 2×2 fylkja

Ákveða 2×2 fylkis er skilgreind sem $D(\bold{x}, \bold{y}) = \det\left|\begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right| = ad - bc$ fyrir vigrana $\bold{x} = {a \choose b}$ og $\bold{y} = {c \choose d}$.

Ákveða 2×2 fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna x og y.

Ákveður 3×3 fylkja

Aðalgrein: Regla Sarrusar

Notast er við reglu Sarrusar við að reikna út ákveðu 3×3 fylkis $A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{bmatrix}$ er skilgreind sem

$det(A) = a \det\begin{vmatrix}e & f \\ h & i \\ \end{vmatrix} - b \det\begin{vmatrix}d & f \\ g & i \\ \end{vmatrix} + c \det\begin{vmatrix}d & e \\ g & h \\ \end{vmatrix}$$= aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg$.

Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá 3×3 ákveðu.

Almennar reglur um ákveður

• $\det(A^c) = \det(A)^c$
• $\det{AB} = \det{A}\det{B}$
• $\det{A} \ne 0$ ef og aðeins ef A er andhverfanlegt fylki.
• Séu einhverjar tvær línur í A eins er $\det{A} = 0$ (Sjá Hornalínugeranleiki og Reiknirit Gauss)
• Sé einhver lína í A með núll í öllum stökum er $\det{A} = 0$
• Sé A n×n efra þríhyrningsfylki er $\det{A} = \prod_{i=1}^n a_{ii}$, þ.e. margfeldi stakanna á hornalínunni.
• $\det{A^{-1}} = \frac{1}{\det{A}}$
• $\det{A^\bold{T}} = \det{A}$ (sjá bylt fylki)
• $\det{A} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ þar sem að $\lambda_1 ... \lambda_n$ eru eiginvigrar A.
• $A = \frac{1}{\det{A}} C^\bold{T}$, þar sem C er hjáþáttafylki A.
• $\det{A} = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{ib} \det{A_{ib}} = \sum_{i=1}^n a_{ib}C_{ib}$ $= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+b}a_{bi} \det{A_{bi}} = \sum_{i=1}^n a_{bi}C_{bi}$ fyrir fasta tölu b < n. Þá er $C_{xy}$ xy-hjáþáttur fylkisins A, og $A_{xy}$ er fylkið A þar þar sem að x-ta lína og y-ti dálkur hafa verið fjarlægð. $a_{xy}$ eru þá stakið í x-tu línu, y-ta dálki í A.

Tengt efni

• Regla Sarrusar