Regla Sarrusar

Regla Sarrusar: heilar hornalínur - óheilar hornalínur

Regla Sarrusar (enska Sarrus' rule eða Sarrus' scheme) er aðferð notuð til að reikna ákveðu 3×3 fylkis. Hún er nefnd í höfuðið á franska stærðfræðinginum Pierre Frédéric Sarrus.

Ef 3x3 fylkið $M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ er tekið sem dæmi þá væri hægt að reikna ákveðu þess með eftirfarandi skema:

Endurtaka skal fyrstu tvo dálka fylkisins fyrir aftan þriðja dálkinn, svo fylkið hafi 5 dálka allt í allt. Leggðu svo saman margfeldi skálínanna sem fara niður (heila skálínan) og dragðu frá margfeldi skálínunnar sem fer upp (óheila skálínan). Úr þessu fæst:

$|M|=\begin{vmatrix} {\color{MidnightBlue}a_{11}} & {\color{CadetBlue}a_{12}} & {\color{DarkOrchid}a_{13}} \\ {\color{DarkOrchid}a_{21}} & {\color{MidnightBlue}a_{22}} & {\color{CadetBlue}a_{23}} \\ {\color{CadetBlue}a_{31}} & {\color{DarkOrchid}a_{32}} & {\color{MidnightBlue}a_{33}} \end{vmatrix} = {\color{MidnightBlue}a_{11}a_{22}a_{33}}+{\color{CadetBlue}a_{12}a_{23}a_{31}}+{\color{DarkOrchid}a_{13}a_{21}a_{32}}-{\color{CadetBlue}a_{31}}{\color{MidnightBlue}a_{22}}{\color{DarkOrchid}a_{13}}-{\color{DarkOrchid}a_{32}}{\color{CadetBlue}a_{23}}{\color{MidnightBlue}a_{11}}-{\color{MidnightBlue}a_{33}}{\color{DarkOrchid}a_{21}}{\color{CadetBlue}a_{12}}$

Líkt skema sem byggir á skálínum virkar fyrir 2×2 fylki: $|M|=\begin{vmatrix} {\color{MidnightBlue}a_{11}} & {\color{CadetBlue}a_{12}} \\ {\color{CadetBlue}a_{21}} & {\color{MidnightBlue}a_{22}} \end{vmatrix} = {\color{MidnightBlue}a_{11}a_{22}} - {\color{CadetBlue}a_{21}a_{12}}$

Dæmi

2×2 fylki

Fyrsta dæmið

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

$A=\begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}$

Þá er margfeldi heilu skálínunnar $(-2)\times1$ eða $-2$ og margfeldi óheilu skálínunar er $7\times5$ sem er jaft og $35$. Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst $-2-35$:

$|A|=\begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = -2 -35 = -37$

og því er ákveða fylkisins A $-37$.

Annað dæmið

Sem dæmi má taka 2×2 fylkið

$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & -14 \end{pmatrix}$

Þá er margfeldi heilu skálínunnar $1\times(-14)$ eða $-14$ og margfeldi óheilu skálínunar er $5\times0$ sem er auðvitað $0$. Svo er margfeldi óheilu skálínunnar dregin frá margeldi heilu skálínunnar en þá fæst $-14-0$:

$|B|=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & -14 \end{vmatrix} = -14-0 = -14$

og því er ákveða fylkisins B $-14$.

3×3 fylki

Sem dæmi má taka 3×3 fylkið

$C=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

Og þá er margfeldi skálínanna sem voru heilar laggðar saman þar sem sú fyrsta er $(-1)\times4\times1$ eða $-4$, sú önnur er $3\times2\times(-2)$ sem er jaft og $-12$ og sú síðasta er $5\times6\times5$ sem er $150$. Svo er margfeldi óheilu skálínanna dregnar frá, en fyrsta skálínan er $(-2)\times4\times5$ eða $-40$, sú önnur er $5\times2\times(-1)$ eða $-10$ og sú síðasta er $1\times6\times3$ eða $18$.

$|C|=\begin{vmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 \end{vmatrix}$

og

$|C| = ((-1)\times4\times1+3\times2\times(-2)+5\times6\times5)-((-2)\times4\times5+5\times2\times(-1)-1\times6\times3)$

sem er jafnt og

$|C|= (-4 -12 +150 ) - (-40-10+18) = (134) - (-32) = 134 + 32 = 166$

og því er ákveða fylkisins C jöfn $166$.

Heimildir

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, P.145 (German)
• Sarrus' rule at Planetmath