Fylki (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Fylki í stærðfræði á við stærðfærðilegt viðfang, sem samanstendur úr stæðum, t.d. tölum eða föllum, og lýtur línlegri algebru. Almennt má túlka fylki sem töflu, þar sem hver hólf töflunnar hefur eitt stak. Stærð fylkis er fjöldi lína × fjöldi dálka, þannig að 2×3 fylki hefur tvær línur og þrjá dálka. m×n fylki yrði skrifað svona:


\left[ \begin{matrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix} \right]

þar sem að a_{ij} er talan í i-tu röð og j-ta dálki. Hver tala í fylkinu er kallað stak. Hægt er að túlka eina línu sem m-víðan vigur, eða einn dálk sem n-víðan vigur. Þá er vigur línu kallaður línuvigur og vigur dálks kallaður dálkvigur. Út frá þessu má leiða skilgreininguna að fylki er röðuð n-nd vigra, rétt eins og vigur er röðuð n-nd talna.

Ef fylki hefur jafn marga dálka og línur (n×n) er það kallað ferningsfylki eða ferningslaga fylki. Ef stökin á hornalínunni (frá efra vinstra horni að neðra hægra horni) eru einu stökin sem hafa ekki gildið 0, þá er fylkið kallað hornalínufylki. Ef stökin ofan við aðalhornalínuna eru öll núll, en ekki neðan við hana, þá kallast fylkið neðra þríhyrningsfylki. Öfugt gildir, að ef stökin neðan við aðalhornalínuna eru öll núll en ekki ofan við hana, þá er fylkið efra þríhyrningsfylki.

Hér eru nokkur dæmi um fylki:

\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & i \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & b & c \\ 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]
3x2 fylki 2x4 fylki Ferningsfylki Hornalínufylki Efra þríhyrningsfylki Núllvalda fylki 3x3 Einingarfylkið

Reikniaðgerðir fylkja[breyta]

Samlagning[breyta]

Leggja má fylki saman ef og aðeins ef að þau eru jafn stór. Þá eru samsvarandi stök lögð saman með einföldum hætti:


\left[ \begin{matrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix} \right] +

\left[ \begin{matrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{matrix} \right] =

\left[ \begin{matrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{11} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{11} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{matrix} \right]

Dæmi:

\left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 1 & 7 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right]
+ \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 4 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right]
= \left[ \begin{matrix} 8 & 3 \\ 1 & 11 \\ 11 & 15 \end{matrix} \right]

Margföldun[breyta]

Margföldun fylkja sýnt myndrænt

Hægt er að margfalda saman tvö fylki því og þá aðeins að fjöldi dálka í fyrra fylkinu sé jafn fjölda lína í seinna fylkinu. Þ.e., hægt er að margfalda saman m×r fylki og r×n fylki. Köllum slík fylki A og B. Þá er hægt að margfalda saman A og B: AB.

Varúðar skal gætt við margföldun fylkja, þar sem að víxlregla gildir ekki um margföldun þeirra: AB \ne BA. Margföldun BA er heldur ekki möguleg nema að m = n, í þessu dæmi. Þó svo að margföldun sé ekki víxlin eru til tilfelli þar sem að tvö fylki margfölduð saman skila sömu niðurstöðu á hvorn vegin sem margfaldað er, en það er hrein tilviljun.

Margfeldi fylkja er skilgreind þannig að fyrir A\cdot B = C er stakið c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i1}b_{1j} + ... + a_{r1}b_{rj} . Þ.e., stakið jafngildir innfeldinu af i-ta línuvigrinum í A og j-ta dálkvigrinum í B.

Reiknireglur margföldunar eru:

Aðrar aðgerðir[breyta]

Deiling fylkja er ekki skilgreind.

Andhverfa fylkja[breyta]

Aðalgrein: Andhverfanlegt fylki

Ferningsfylki er eina tegund fylkja sem geta átt sér andhverfu, en með því skilyrði að ákveða fylkisins sé ekki núll og að metorð þess sé jafnt stærðinni (n). Ýmis önnur jafngild skilyrði eru til staðar. Sé ferningsfylki margfaldað við andhverfu fæst einingarfylki.

Saga fylkja[breyta]

Fylki voru fyrst notuð af Gottfried Wilhelm von Leibniz á 17. öld. William Hamilton notaði fylki við skilgreiningu á fertölum.

Tengt efni[breyta]