„Innfeldi“: Munur á milli breytinga

Efni eytt Efni bætt við

Innfellt

Útgáfa síðunnar 5. maí 2006 kl. 22:03

Innfeldi er, í stærðfræði tvílínulegur virki sem er skilgreindur á vigurrúmum. Hún er stundum einnig kölluð punktmargfeldi eða depilmargfeldi, og er ýmist táknuð með tveimur oddklofum, $\langle a,b\rangle$ , eða með punkti, $a\cdot b$ . Vigurrúm ásamt innfeldi er kallað innfeldisrúm.

Innfeldi á vigurrúminu V verður að uppfylla:

$\langle a,b\rangle =\langle b,a\rangle$ (víxlregla)
$\langle a,(b+c)\rangle =\langle a,b\rangle +\langle a,c\rangle$ (dreifiregla)
$r\langle a,b\rangle =\langle ra,b\rangle =\langle a,rb\rangle$ (tengiregla)
$\langle a,a\rangle \geq 0$ , og $\langle a,a\rangle =0$ ef og aðeins ef $a=0$ (jákvæðni)

Rauntalnarúm

Venjulega innfeldið á $\mathbb {R} ^{n}$ er skilgreint þannig:

a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}

, þar sem

{\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})

og

{\mathbf {b}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})

.

Einnig má finna innfeldi tveggja vigra með því að margfalda saman lengdir þeirra og cosínus af horninu milli þeirra:

a\cdot b=\|a\|\|b\|cos(\theta )

, þar sem

\theta

er hornið milli vigranna a og b.

Einnig er algengt að nota innfeldi til að finna horn milli tveggja vigra ef hnit þeirra eru þekkt. Það má gera svona:

a\cdot b=\|a\|\|b\|cos(\theta )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\Rightarrow cos(\theta )={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n} \over \|a\|\|b\|}

. Hér táknar

\|a\|

táknar lengd vigursins a.

Mikilvægur eiginleiki innfelda er að innfeldi hornréttra vigra er núll. Það er auðvelt að sjá það því að þátturinn $cos(\theta )$ verður núll þegar $\theta =90^{\circ }+180^{\circ }k$ þar sem $k\in Z$

Snið:Stærðfræðistubbur

@@ Lína 1: / Lína 1: @@
+'''Innfeldi''' er, í [[stærðfræði]] tvílínulegur virki sem er skilgreindur á [[vigurrúm]]um. Hún er stundum einnig kölluð '''punktmargfeldi''' eða '''depilmargfeldi''', og er ýmist táknuð með tveimur oddklofum, <math>\langle a, b\rangle</math>, eða með punkti, <math>a \cdot b</math>. Vigurrúm ásamt innfeldi er kallað [[innfeldisrúm]].
-{{hreingerning}}
+Innfeldi á vigurrúminu '''V''' verður að uppfylla:
-Innfeldi einnig kallað punktmargfeldi eða depilmargfeldi er stærðfræðileg aðgerð sem tekur tvo vigra og skilar einni stærð.
+# <math>\langle a, b \rangle = \langle b, a \rangle</math> (víxlregla)
-Innfeldi vigranna  '''a''' = [<math>a_1, a_2</math>] og '''b''' = [<math>b_1, b_2</math>] er <math>a_1b_1 + a_2b_2</math>
+# <math>\langle a, (b + c) \rangle = \langle a, b \rangle + \langle a, c \rangle</math> (dreifiregla)
+# <math>r\langle a, b \rangle = \langle ra, b \rangle = \langle a, rb \rangle</math> (tengiregla)
-Almennara hafa vigrarnir '''a''' og '''b''', þar sem '''a''' <math> = [a_1, a_2, \cdots ,a_n]</math> og '''b'''<math> = [b_1, b_2, ...,b_n]</math>, innfeldið:
+# <math>\langle a, a \rangle \ge 0</math>, og <math>\langle a, a \rangle = 0</math> [[ef og aðeins ef]] <math>a = 0</math> (jákvæðni)
-'''a''' <math>\bullet</math> '''b'''<math> = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum^n_{k=1} a_k\cdot b_k</math>
+== Rauntalnarúm ==
+Venjulega innfeldið á <math>\mathbb{R}^n</math> er skilgreint þannig:
+:<math>a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum^n_{k=1} a_k\cdot b_k</math>, þar sem <math>\bold{a} = (a_1, a_2, \cdots ,a_n)</math> og <math>\bold{b} = (b_1, b_2, ...,b_n)</math>.
 Einnig má finna innfeldi tveggja vigra með því að margfalda saman lengdir þeirra og cosínus af horninu milli þeirra:
+:<math>a \cdot b = \|a\|\|b\|cos(\theta)</math>, þar sem <math>\theta</math> er hornið milli vigranna '''a''' og '''b'''.
+Einnig er algengt að nota innfeldi til að finna horn milli tveggja vigra ef hnit þeirra eru þekkt. Það má gera svona:
-'''a'''<math>\bullet</math> '''b''' <math>= |a|\cdot |b| \cdot cos(\theta) </math>
+:<math>a \cdot b = \|a\|\|b\|cos(\theta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \Rightarrow cos(\theta) = {a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \over \|a\|\|b\|}</math>. Hér táknar <math>\|a\|</math> táknar [[firð|lengd]] vigursins '''a'''.
-þar sem <math>\theta</math> er hornið milli vigranna '''a''' og '''b'''.
-Algengt er að nota innfeldi til að finna horn milli tveggja vigra ef maður þekkir hnit þeirra. Það má gera svona:
-'''a'''<math>\bullet</math> '''b''' <math> = |a|\cdot |b| \cdot cos(\theta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
-\Rightarrow cos(\theta) = {a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \over |a|\cdot|b|}</math>)
+Mikilvægur eiginleiki innfelda er að innfeldi hornréttra vigra er núll. Það er auðvelt að sjá það því að þátturinn <math>cos(\theta)</math> verður núll þegar <math>\theta = 90^\circ + 180^\circ k</math> þar sem <math>k \in Z</math>
-( <math>|a|</math> táknar lengd vigursins '''a'''. Hana má finna með Pýþagorasarreglu: |a| = <math>\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots a_n^2}</math> )
+{{Línuleg algebra}}
-Mikilvægur eiginleiki innfellda er að innfeldi hornréttra vigra er núll.
+{{stærðfræðistubbur}}
-Það er auðvelt að sjá það því að þátturinn <math>cos(\theta)</math> verður núll þegar <math>\theta = 90^\circ + 180^\circ k</math> þar sem <math>k \in Z</math>
-{{stubbur}}