Samfelldni

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Samfelldni er mikilvægt hugtak í örsmæðareikningi og grannfræði. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.

Samfelldni raungilds falls

Raungilt fall $f:X\rightarrow Y$, sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið $\lim _{x\to y}f(x)$ sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.

$\lim _{x\to y}{f(x)}=f(y)$.

Samfelldni í grannrúmi

Fyrir almennt grannrúm gildir að fall $f:X\rightarrow Y$ er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi $U\in Y$ gildir að $f^{-1}(U)$ er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a. $f(U)\subset V$.

Samfelldni í firðrúmi

Ef$(X,d_{x}),(Y,d_{y})$ eru firðrúm er fallið $f:X\rightarrow Y$ sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. $d_{x}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{y}(f(x),f(y))<\epsilon$.

Fyrir venjulegu firðina d(x,y) = |x - y| á rauntalnaásnum er skilgreiningin jafngild sígildri "$\epsilon -\delta$" skilgreiningu á samfelldni, sem sett er fram með eftirfarandi hætti:

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x,y\in A:|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon .$

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.