Ferillengd

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Ferillengd er lengd ferils og er alltaf stærri en núll, en getur verið óendaleg.

Skilgreining[breyta | breyta frumkóða]

Ferlillengd L er skilgreind með eftirfarandi ferilheildi:

þar sem ds táknar „óendanlega lítinn bút“ af ferlinum og ferilheildið er reiknað eftir ferlinum.

Dæmi[breyta | breyta frumkóða]

Setjum að lýsa megi ferli í tvívíðri sléttu í með tvenndunum (x, y), þar sem x og y eru samfelld og deildanleg föll.

Stillum fyrst upp líkingunni fyrir „litla bútinn“ ds af ferlinum, þar sem við notum okkur reglu Pýþagórasar:

, sem gefur

en neikvæða rótin kemur vitaskuld ekki til greina, því ferillengd er alltaf stærri en núll.

Til að reika ferilheildið þarf að stika föllin x og y, t.d. með x := x(t) og y := y(t). Deilum því næst með dt og umritum:

þar sem yfirsettu punktarnir tákna fyrstu afleiður fallanna.

Innsetning gefur loks:

þar sem notuð var stikunin x := t og y := f(t), en táknið ' merki fyrstu afleiðu fallsins f og ferillinn afmarkast af bilinu [a, b], þ.e. a ≤ t ≤ b.