Regla Pýþagórasar

Regla Pýþagórasar, Pýþagórasarregla eða setning Pýþagórasar er regla í evklíðskri rúmfræði sem fjallar um tengslin milli lengda hliða í rétthyrndum þríhyrningi. Reglan er kennd við forngríska heimspekinginn, trúarleiðtogann og stærðfræðinginn Pýþagóras, þó að vitað sé að reglan hafi þekkst fyrir tíma hans bæði í Babýlóníu og Kína, en talið er að hann hafi verið fyrstur til að sanna að hún gilti fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga.

Reglan er grundvallarregla í ýmsum rúmfræðireikningi, t.a.m. hnitarúmfræði og hornafræði.

Reglan

Mynd sem sýnir þrjá ferhyrninga sem mynda rétthyrndan þríhyrning sín á milli

Setningin segir að í rétthyrndum þríhyrning er summa ferninga skammhliðanna jöfn ferningnum á langhliðina.

Ef hliðarlengdir þríhyrningsins eru a, b, c, þar sem c er langhliðin, gildir því

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Ef smíðaðir eru þrír ferningar, þar sem hver hinna þriggja hliða þríhyrningsins jafngildir hliðarlengd eins fernings, er samanlagt flatarmál minni ferninganna tveggja jafnt flatarmáli þess stærsta.

Sönnun

Til eru fjölmargar mismunandi sannanir á reglu Pýþagórasar. Eftirfarandi sönnun byggir á reglu um einslaga þríhyrninga.

Látum þríhyringinn ABC vera þannig að hornið C er rétt. Drögum línuna CX hornrétt á hliðina AB. Þá myndast tveir nýir þríhyrningar, ACX og CBX. Þessir þríhyrningar eru báðir einslaga þríhyrningnum ABC.

Þar sem ${\textstyle \triangle {ABC}\cong \triangle {CBX}}$ er ${\dfrac {BC}{AB}}={\dfrac {BX}{BC}}$, og þar sem $\triangle {ABC}\cong \triangle {ACX}$ er ${\dfrac {AC}{AB}}={\dfrac {AX}{AC}}$.

Því fæst

$$BC^{2}+AC^{2}=AB\cdot BX+AB\cdot AX.$$

Þar sem $AX+BX=AB$ fáum við að

$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$.

Skrifum $BC=a,AC=b,AB=c$, svo að

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

eins og sanna átti.

Tengt efni

• Fjarlægðarformúlan
• Pýþagórískur þríhyrningur