Spjall:Fall (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Jump to navigation Jump to search
Wikipedia
Þessi grein tilheyrir stærðfræðigáttinni

Það vonda við þessa myndlíkingu er að fallhraði hluta eykst ekki línulega, svo (stærðfræði)fallið er í raun villandi. --Heiða María 23:12, 9 mar 2005 (UTC)

Hmm, já ef að ég tæki þyngdarhröðun með í reikning þá yrði fallið bara flóknara... en já... þarf að hugsa þetta betur. --Friðrik Bragi Dýrfjörð 23:17, 9 mar 2005 (UTC)

Skilgreiningarmengi? Það hefur heitið formengi þar sem það hefur orðið á vegi mínum. Formengi er líka mun fallegra orð.

Tvennt.
  1. Fallhraði eykst víst línulega, en hann vex ekki sem bein lína, heldur sem fleygbogi. Það yrði sóðalegt ef að hann myndi ekki aukast línulega - þá gæti maður ekki reitt sig á þetta. :)
  2. Hitt er það að formengi og skilgreiningarmengi er ekki alltaf það sama. Hér er smá bútur úr fallafræðihandbók sem ég byrjaði að skrifa fyrir einhverju síðan (Ykkur er frjálst að nota eitthvað úr þessu í greininni.. ég nenni ekki að splæsa það saman - heilsan er ekki upp á sitt besta núna)

Fall mætti líta á sem nokkurskonar ímyndaða stærðfræðilega vél. Líkt og aðrar vélar tekur hún eitthvað inn í sig, og skilar einhverju út úr sér - bílvélar sem dæmi taka inn bensín og súrefni og skila út úr sér hreyfiorku eftir að sprenging hefur farið fram í sprengirými vélarinnar. Sömuleiðis gæti fall, tekið inn töluna 4 og skilað út tölunni 8 eftir að ferli inní "vélinni" hefur tvöfaldað töluna.

Hefð er fyrir því að föll hljóti nafngiftir á borð við , , og svo framvegis. Inntak í fall er mjög gjarnan kallað , en úttak er gjarnan kallað . Þá er það ritað þannig: .

Þegar verið er að skilgreina föll, þ.e., ákveða hvað föll gera, þá er notast við sama ritmáta. Dæmi um skilgreiningu falls sem tvöfaldar tölu væri: . Þá myndi . Í því dæmi er inntak fallsins, og er úttak. Fallið sjálft er jafngilt .

Sum föll geta þó bara tekið inn ákveðnar tölur, t.d. getur fallið ekki tekið inn , þar sem að þá myndum við deila með núlli og fá villu. Þá segjum við að skilgreiningarmengi fallsins sé allar tölur nema , eða: .

Föll geta einmitt líka bara skilað ákveðnum tölum - t.d. getur fallið ekki skilað neinum neikvæðum tölum, né tölunni , þar sem að fundið er algildi inntaksins (þá verður alltaf jákvæð), og lagt einn við (þannig að ef að inntakið er þá verður útkoman ). Þar af leiðir að myndmengi fallsins inniheldur allar tölur nema neikvæðar tölur og núll: . Þó svo að formengið sé takmarkað í þessu falli er skilgreiningarmengið það ekki - fyrir þetta fall er .

Gjarnan er vísað til þess hvernig föll hegða sér undir ákveðnum kringumstæðum með því að skilgreina föll þannig að þau séu "úr" einu mengi "í" annað, t.d. . Ef að við hefðum fallið og við skilgreindum formengið sem takmarkað , þá væri bakmengi fallsins - en þó svo að við endurskilgreinum formengi falls, þá helst skilgreiningarmengið það sama.

Á þessu sést að föll eru mörg og misjöfn, en ótrúlega margt í stærðfræði er fall. Til dæmis er algildisfallið fall, eins og nafnið gefur til kynna: Það tekur inn eina tölu, og skilar út annarri. - það skilar ef að er stærri en , annars . Þannig er skilgreiningarmengi fallsins og myndmengi fallsins .

Einnig eru hornaföllin föll - , , , , , - og andhverfur þeirra - , , ,... - og lógarithmaföllin og . Svo er náttúrulega vísisfallið auðvitað fall: . Örmull er til af föllum.

Vonandi svarar þetta öllum spurningum. Ef ekki... ja... spyrjiði þá Moi. --Smári McCarthy 14:41, 13 mar 2005 (UTC)

Ég skal fallast á að þarna sé dreginn upp munur á skilgreiningarmengi og formengi en ég spyr mig hvaðan þessar heimildir koma. Ljóst er að formengi er það sama og skilgreiningarmengi nema annað sé tekið fram þ.e. formenginu breytt vegna þess að reikningar síðar krefjast þess. En gerum nú ráð fyrir að þú byrjir með fall f = 1, þar sem skilgreiningarmengi væru allar rauntölur og formengi allar rauntölur nema núll. Síðan myndir þú af einhverjum ástæðum ákveða að lengja þetta með x og fá f = x/x. Það væri löglegt því þú varst búinn að þrengja formenginð. Aftur á móti værir þú nú kominn með nýtt skilgreiningarmengi fyrir f sem væri ólíkt upphaflega skilgreiningarmenginu en þó skilgreiningarmengi fallsins f. Þ.e. þú værir kominn með tvö mismunandi skilgreiningarmengi fyrir sama fallið. Þetta þykir mér vera mótsögn og finnst það benda til að skv þessari skilgreiningu er hugtakið skilgreiningarmengi gagnlítið. Getur einhver annars bent mér á aðferð þar sem það kæmi virkilega á notum að hafa skilgreiningarmengi falls og formengi falls sem sitthvor mengin?

Hitt er svo annað að það er ýmislegt sem styður að þetta sé sami hluturinn. Fyrir það fyrsta virðist þetta skv samtali mínu við Friðrik vera það hugtak sem Akureyringar nota yfir formengi. Ég á bágt með að trúa því að þeir geti komist í gegn um menntaskólastærðfræði án þess að breyta einhvern formingi falls af einhverri ástæðu. Einnig bendi ég fólki á að leita að "skilgreiningarmengi formengi" á google en þar koma fyrir þónokkrar síður þar sem þessi orð eru notuð sem samheiti.

Bessi... sem nennir ekki að búa sér til notanda

Þessi skilgreining er sú sem kemur fram í bókinni STÆ403 eftir Niels, Jón og Stefán - Akureyringabókin, þ.e. Reyndar var þetta ekki skilningur sá er ég lagði í þetta þegar að ég las þetta, þar sem að það er ómögulegt að skilja margt af því sem fer fram í Akureyringabókunum, enda eru þær bækur alsettar menntasnobbi og þessháttar, en stærðfræðikennarinn minn var svo vinsamleg að útskýra þetta á þennann hátt á sínum tíma, og sér hver maður að hvort sem að þetta sé rétt skv. samheitaorðabók, að þessi tvö hugtök séu samheiti, þá er það mjög hentugt að hafa þessi tvö hugtök aðskilin til þess einmitt að geta greint á milli eins og að ofan segir. Afturámóti kemur fram í Orðasafni íslenska stærðfræðafélagsins:
set of definition: formengi, skilgreiningarmengi, óðal, = argument domain, = domain 4, = domain of definition, = range of arguments, = source 2, = source set, -> index set.
.. þannig að, já.. ég get ekki svarað fyrir mínum skrifum með öðru en því að þetta er heppileg aðgreining, sem hentar mér mjög vel, og ég tel að hún geti hentað öðrum jafn vel. --Smári McCarthy 21:43, 15 mar 2005 (UTC)
Mig langar bara í dæmi þar sem þessi aðgreining hefur hentað þér mjög vel.


Úbbs! Dálítið illskiljanlegt: „Fallhraði eykst víst línulega, en hann vex ekki sem bein lína, heldur sem fleygbogi.“ Þetta sagði Smári PM. En ef fallhraði eykst línulega, (sem hann gerir nú alls ekki) þá getur hann ekki vaxið sem fleygbogi, því að línulegur vöxtur fylgir beinni línu í venjulegu x-y hnitakerfi. En svo er það aftur það, að fallhraði hluta vex ekki heldur sem fleygbogi, nema því aðeins að hluturinn „falli“ í gegnum stöðugt þyngdarsvið og án allrar loftmótstöðu. Þar sem við búum ekki við slíkar aðstæður að jafnaði getum við alveg haldið því fram að fallhraði hluta (í okkar venjlega umhverfi) vex ekki sem fleygbogi. Raunverulegur fallhraði hlutar (þetta gæti til dæmis verið fallhlífarstökkvari áður en fallhlífin er opnuð), sem fellur í jöfnu þyngdarsviði með loftmótstöðu (sem reyndar er línulega háð hraðanum) fylgir fallinu v(t) = (m/k)(g - e-(k/m)t), sem er fjarri því að vera bein lína og jafnfjarri því að vera fleygbogi. [Hér eru v=hraði, m=massi, g=þyngdarhröðun, k=loftmótstöðustuðull, e=grunntala náttúrulega lograns og t=tími]. --Moi 22:40, 15 mar 2005 (UTC)
Þakka þér kærlega fyrir góða jöfnu. Hún breytir þó ekki þeirri staðreynd að hægt er nota fleygboga til að nálga stöðu hlutar í stuttu frjálsu falli (t.d. tennisbolta sem dettur af 4. hæð) býsna vel, meðan línulega fallið sem minnst er á í greinni er til flestra hluta gagnslaus nálgun. Svipað á við um falltíma. Ég mæli því með því að dæminu verði breytt. OliAtlason 06:23, 16 mar 2005 (UTC)
Úgg. Ég er alveg búinn að króa mig af við vegg í þessari umræðu, e.t.v. vegna þess að ég er að verja það sem að mér var kennt frekar en það sem að ég tel mig vita fyrir víst. Mér væri vísast að þegja bara. Eeen.. ég held að ég haldi bara áfram aðeins. Dæmi þar sem að þessi aðgreining gæti hentað mjög vel: (því ég man ekki eftir neinu raundæmi í augnablikinu)
Tökum sem dæmi fall sem lýsir hraða járnbrautalestar sem ferðast milli Amsterdam og Enschede yfir tíma. Þá er skilgreiningarmengi fallsins allir punktar á bilinu frá Amsterdam til Enschede - köllum það safn L (leiðin). En ef að við viljum fá fallið eingöngu á bilinu frá Amersfoort til Hengelo, sem eru tvær stoppistöðvar lestarinnar á þessari leið, þá myndum við beita takmörkun á borð við f(hengelo) - f(amersfoort) til þess að vita tíman sem sú ferð tæki, en til þess að lýsa fallinu sjálfu á þessari leið væri hægt að búa til formengi sem innihéldi bara punktanna á þessari leið, þ.e., x er á milli Hengelo og Amersfoort. Vissulega er þar verið að búa til nýtt skilgreiningarmengi á fallið, en í eðli sínu er fallið ennþá gilt á upprunalega bilinu, þar sem að fallið sjálft breytist ekki. Þetta myndi ég kalla að þrengja skilgreiningamengi að nýju formengi. Er þetta nægilega gott dæmi fyrir þig?
Hvað varðar athugasemd Moi, þá get ég engu svarað. Þetta er líklega stór misskilningur að minni hálfu. --Smári McCarthy 09:34, 16 mar 2005 (UTC)
Þú getur þá allt eins sett takmörkun á fallið er það ekki? Skoðað fallið f(x) = x, þar sem að 2 < x < 20, svona er verið að kenna mér þetta alla veganna. Burt sé frá því hvort þetta sé góð aðgreining eða ekki, þá eru þessi orð samheiti svo að þú verður að finna þér nýtt orð fyrir þessa skilgreiningu þína held ég :D --Friðrik Bragi Dýrfjörð 23:01, 17 mar 2005 (UTC)
Það er rétt hjá OliAtlason að fleygbogi er góð nálgun fyrir stöðu hlutar ef fallið er „stutt“, vegna þess að þá er hraðinn frekar lítill og loftmótstaðan er ekki veruleg. Með vaxandi vegalengd og hraða eykst einnig loftmótstaðan uns kemur að því að loftmótstaðan jafnast á við þyngdarkraftinn. Þá verður hröðunin núll og hraðinn vex ekki lengur. Þá er gildi hraðans jafnt mg/k eins og kemur fram í jöfnunni hér að ofan. Það er vissulega líka rétt að ef fallið er nógu stutt, þá er vöxtur hraðans nokkurn veginn línulegur. En þetta eru hvort tveggja nálganir, sem gilda því ver sem fallið tekur lengri tíma. --Moi 00:07, 18 mar 2005 (UTC)


Inngangur[breyta frumkóða]

Ég tók út þennan inngang:

Fall í stærðfræði lýsir tengslum, þar sem að hvert stak í mengi (skilgreiningarmengi) er tengt við eitt stak í öðru (hugsanlega því sama) mengi (bakmengi, sem er ekki það sama og myndmengi).

Mér fannst hann bara vera eitthvað svo tyrfinn. Ef einhver er ósáttur við nýja innganginn getur hann svo sem breytt þessu aftur... --Heiða María 23:04, 17 mar 2005 (UTC)

Þinn inngangur er betri, en ef að þú tekur eitthvað svona út þá þarftu afrita textan á spjallið því að þetta er allt geymt í gagnagrunni og við getum snúið þessu við með einum músasmell ;) --Friðrik Bragi Dýrfjörð 23:06, 17 mar 2005 (UTC)
Þú ert væntanlega að meina að ég þurfi EKKI að afrita textann. :-) Ég veit það reyndar, en fannst þetta einhvern veginn bara kurteisi. --Heiða María 23:12, 17 mar 2005 (UTC)
Reyndar má bæta við að inngangurinn minn er ekki alveg réttur, því fall lýsir jú tengslum, en ekki endilega orsakatengslum. Þess vegna þarf ein breyta ekki að hafa ÁHRIF á aðra til að hægt sé að lýsa tengslum þeirra með falli. Breyti því hver sem vill. --Heiða María 23:12, 17 mar 2005 (UTC)

Enn eina ferðina búið að endurskrifa innganginn og alla greinina reyndar: Fyrri inngangur var eftirfarandi og mér þykir hann betri: Fall í stærðfræði er eintæk vörpun milli tveggja mengja, formengis og bakmengis, þ.a. fyrir sérhvert stak í formenginu er til eitt og aðeins eitt stak í bakmenginu. (Öfug skilgreining gildir aðeins fyrir gagntækt fall, þ.e. fyrir sérhvert stak í bakmenginu, sem er eins og myndmengið, er til eitt og aðeins eitt stak í formenginu.) Orðin fall og vörpun eru oft notuð sem samheiti, þó að vörpun þurfi ekki að vera eintæk. Hugtakið fall er mikilvægt fyrir nánast allar greinar stærðfræðinnar og öll magnbundin vísindi. Fallafræðin fjallar um föll. Thvj 27. júlí 2011 kl. 09:56 (UTC)

Ég breytti öllu saman, hefði kannski átt að ræða hluti á spjallinu fyrst, ég vil benda á að gamli inngagngurinn sem hefur verið settur inn aftur inniheldur alvarlega villu, föll þurfa alls ekki að vera eintæk. Inngangurinn sem ég endurskrifaði var e.t.v. tyrfinn, en ég tek nú villuna aftur út. Kv. kyrhaus.

Aðrar gerðir falla[breyta frumkóða]

Hæhó. Ég var að pæla í því hvernig best væri hægt að setja inn umfjöllun um vigurgild föll, tvinngild föll, tvinnföll, línulegar varpannir, tvílínulegar varpannir, marglínulegar varpanir, o.þ.a., hér, þar sem að þetta eru allt jú bara föll með mismunandi "tegundum" inntaks og úttaks. Ég held að það þurfi þá að endurstrúktúra þessa grein... einhverjar hugmyndir? --Smári McCarthy 11. jan. 2006 kl. 08:27 (UTC)

IMO, ætti vörpun að fara í sér grein. Eins og ég hef lært þetta þá er vörpun ekki alveg það sama og fall heldur útvíkkun á hugtakinu og mér sýnist lítið mál að hafa sér grein um hana. Þótt greinin á ensku sé ítarleg þá er hún illa uppsett að mínu mati, hinsvegar veit ég ekki nógu mikið um þetta til að átta mig á því hvernig sé best að hafa þetta. --Friðrik Bragi Dýrfjörð 11. jan. 2006 kl. 11:40 (UTC)

Sérstök föll[breyta frumkóða]

Hef verið að íhuga að stofna sérstaka grein og flokk um sérstök eða einkennileg föll, þ.e. föll sem ekki er mögulegt að setja fram með samleitnum röðum (fágað fall), t.d. algildi, formerkisfall, möbiusarfall o.s.frv. -- Hvað finnst ykkur um þessa hugmynd? Thvj 21. desember 2008 kl. 13:18 (UTC)

Hefur einhver hugmynd um hvað kalla megi ekki fáguð föll eða ófáguð föll?? Thvj 16. janúar 2009 kl. 19:35 (UTC)

Myndræn líking[breyta frumkóða]

Dæmið í myndrænu líkingunni er kolrangt, því falltími er alls ekki línulegt fall af fallhæð heldur ferningsrót af henni, þ.e. falltími = sqrt(2*fallhæð/g), þar sem g er þyngdarhröðun, en þá er auðvitað ekki ger ráð fyrir loftmótstöðu né upphafshraða. Fallhraðinn er hins vegar línulegur, þ.e. fallhraði = g*t. Thvj 7. júlí 2011 kl. 10:37 (UTC)

Endurskrifaði kaflann "Myndræn líking" með hliðsjón af grein Smára McCarthy hér að ofan. Thvj 9. júlí 2011 kl. 19:43 (UTC)

Er með „falli“ átt við „eintæka vörpun“ eða eru orðin „fall“ og „vörpun“ samheiti?[breyta frumkóða]

Ég leyfi mér að andæfa þeirri staðhæfinug að fall, þurfi ekki að vera eintækt, þó að færa megi gild rök fyrir „föllum“, sem ekki eru eintæk, t.d. tvinngildar varpanir eins og Ln(z). Helstu rökin eru þau að með því að sleppa skilyrðinu um eintækni, er í raun verið að leggja hugtakið „fall“ og „vörpun“ að jöfnu. Sú notkun skapar vandamál vegna þess að allar varpanir eru ekki föll, í venjulegum skilningi, t.d. sgn() og „deltafallið“. (Meða „skurði“ á tvinnsléttunni má vissulega fá marggildar varpanir, eins og Ln(z), til að hegða sér svipað og raungild föll.) Þessa mótsögn þarf að leysa, þó ég viti ekki alveg bestu leiðin, aðra en að gera þá kröfu að fall, sé eintæk vörpun. - Tillögur óskast frá stærðfræðingum! (Texti „Thvj 27. júlí 2011 kl. 21:02 (UTC)“ fluttur af spjalli um „Inngang“ hér að ofan) Thvj 28. júlí 2011 kl. 09:56 (UTC)

Breytti inngangi og bætt við eftirfarandi: Fall á yfirleitt við eintæka vörpun.. Thvj 29. júlí 2011 kl. 11:51 (UTC)
Hef gert ýmsar breytingar í inngangi og skilgreiningu og reynt að einfalda og bæta orðalag. Þó þyrfti að skrifa sér kafla um „marggild föll“ og sýna dæmi. 31. júlí 2011 kl. 18:13 (UTC)

Viðtekna skilgreiningin á eintækni segir að fall/vörpun sé eintæk(t) ef að ólík stök í formenginu varpast í ólík stök í bakmenginu, m.ö.o. þ.e. ef x_1 og x_2 eru ólík þá eru f(x_1) og f(x_2) ólík. Nú er t.d. raunfallið f(x) := x^2 ekki eintækt því að f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x). Marggild föll (sem er svo gott sem ónothæft hugtak) eru ekki nákvæmlega þau föll sem eru ekki eintæk.

Hvað varðar muninn á falli og vörpun skal ég ekki fullyrða en mér virðist hann einna helst liggja í því hvert bakmengið er, margir tala um föll þegar bakmengið er talnamengi, þó að það virðist nokkuð á reiki hvenær menn byrja að tala um varpanir, skilgreining á falli í t.d. raunfallgreinigu eftir Eggert Briem og Jón Ingólf Magnússon setur t.a.m. engin sértök skilyrði á fomengi eða bakmengi (rendar fjallar bókin öll aðallega um raunföll), hinsvegar minnir mig að í bókunum sem ég notaði í menntaskóla hafi engar aðrar varpanir en raunföll og e.t.v. tvinnföll, man ekki hvort þau komu nokkuð þar við sögu, verið kallaðar föll. Munurinn skiptir hinsvegar litlu máli því að ef fall/vörpun er skilgreind á fullnægjandi hátt er alltaf vitað hvað átt er við. Kv. Kyrhaus.


Í þessari grein virðist vera alvarlegur miskilningur á því hvað eintækt fall sé, eintækt fall er ekki það sama og vörpun sem er ekki marg-gild. T.d. stendur nú í kaflanum um tvinngild föll:

  „Sum föll á tvinnsléttunni eru „marggild“ og taka því sama gild fyrir ólík stök í formengi, t.d. logra- og veldisfallið. Þar sem auðveldara er að vinna með eintæk föll er tvinnsléttan oft „skorin“ og aðeins unnið með eina „grein“ fallsins, sem er eintæk.“.

Ég hef því fjarlægt þennan kafla.

Hérna er fall skilgreint sem vörpun með annaðhvort rauntölur eða tvinntölur sem formengi, held að það sé ágætlega skynsamleg skilgreining og við ættum að nota hana, hvað finnst ykkur? Að minnsta kosti finnst mér það betra en skilgreining sem inniheldur orðið "yfirleitt". --ojs 5. ágúst 2011 kl. 13:34 (UTC)

Reyndar segir stæ.is að með falli sé átt við varpanir þar sem bakmengið, ekki formengið, er hlutmengi í rauntölunum eða tvinntölunum. Ég er sammála um að það sé skynsamlæeg skilgreining, ég hef a.m.k. vanist henni í mínu námi. kyrhaus 13. ágúst 2011.

En er ekki ekki einnig talað um föll af hlutmengi heillra talna, t.d. f:N -> R, f(n)=ln(n)? Öfugt er þó ekki mögulegt að skilgreina fall f:R -> N, nema fastafall á tilteknu bili, því „fallsígildið“ HEILTÖLUHLUTI(), sem er ekki fall í hefðbundnum skilningi, en væri væntanlega nauðsynlegt í slíku tilviki. Thvj 5. september 2011 kl. 11:35 (UTC)
Ég sé ekki afhverju heiltöluhluti ætti ekki að vera fall í hefðbundnum skilningi, það er meira að segja frekar þægt fall (samfellt deildalegt á köflum). Ef við miðum við skilgreininguna að fall sé vörpun þar sem myndmengið er hlutmengi í rauntölum eða tvinntölum eru engar skorður á formenginu, svo að sér í lagi er ekkert athugavert við að skilgreina fall á náttúrlegu tölunum, og þó svo að myndmengið sé t.d. heiltölur, eins og í seinna dæmi síðustu athugasemdar, eru heiltölugild föll í samræmi við þá skilgreiningu vegna þess að líta má á heiltölurnar sem hlutmengi í rauntölunum.

Kyrhaus 9. janúar 2012 kl. 21:25 (UTC)