Heildun

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Heildun (einnig þekkt sem tegrun úr enska orðinu integration, sjá samheiti innan stærðfræðinnar) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reikna ákveðið heildi á tilteknu bili með því að finna fyrst stofnfall fallsins sem heilda skal og taka síðan mismun stofnfallsins í endapunktum bilsins.

Dæmi: Fallið, sem heilda skal,: $f(x) = ax^n$, á sér stofnfall,

$\int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c$, þar sem c er óskilgreindur fasti.

(Athuga ber að ekki er unnt að finna stofnfall nema í undantekningartilvikum.)

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið ‚summa‘ en Leibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildunar nefnist deildun.

Heildunarreglur

• Náttúrlega vísisfallið breytist ekki þegar að það er heildað:

  $\int e^x dx = e^x + C$

• Náttúrulegur logri heildast þannig:

  $\int ln|x| dx = x\cdot ln|x| - x + C$

• Hlutheildun er þannig:

  $\int fdg = fg - \int g df$

• Rúmmál snúðs fallsins $f(x)$ um X-ás er fundið með reglunni:

  $R = \pi\int^a_b f(x)^2 dx$

Dæmi

Heildum fallið $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ með tilliti til x. Það er ritað þannig:

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

$= \int \sqrt{x}^{-1} dx = \int \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} dx = \int x^{-\frac{1}{2}}dx$

Þá getum við heildað skv reglunni:

$\int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c$

þannig að:

$\int x^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{1} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C$

svo niðurstaðan er:

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C$

Heildunaraðferðir

• Hlutheildun
• Heildun með innsetningu
• Óeiginlegt heildi
• Trapisuregla
• Simpsonsreglan
• Rúmmál snúða