Heildun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Fara á: flakk, leita
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurreikningur
Þinreikningur
Meðalgildisreglan

Deildun

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgin föll
Setning Taylors
Related rates
Listi yfir afleiður

Heildun

Listi yfir heildi
Óeiginleg heildi
Heildun:
Hlutheildun, Hringheildun, Heildun snúða, Innsetningaraðferðin,
trigonometric substitution,
Heildun ræðra falla

Heildun (einnig þekkt sem tegrun) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að finna stofnfall, t.d. fallsins f(x) = axn þannig: \int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c,

þar sem c er óskilgreindur fasti, sem hverfur við deildun stofnfallsins.

Stofnfallið er því, á mjög einfölduðu máli, fallið sem fæst þegar veldisvísir breytistærðarinnar er hækkaður um einn og deilt í með sömu tölu. Ekki er unnt þú að finna stofnfall allra falla; í raun er um undantekningu að ræða ef fall á sér stofnfall.

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið „summa“ en Leibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildun nefnist deildun.

[breyta] Heildunarreglur

[breyta] Dæmi

Heildum fallið f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} með tilliti til x. Það er ritað þannig:

\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

 = \int \sqrt{x}^{-1} dx = \int \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} dx = \int x^{-\frac{1}{2}}dx

Þá getum við heildað skv reglunni:

\int ax^n dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c

þannig að:

\int x^{-\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{1} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C

svo niðurstaðan er:

\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C

[breyta] Heildunaraðferðir

Ákveðin heildi - Óákveðin heildi - Hlutheildun - Heildun með innsetningu - Regla l'Hôpitals - Þríhyrningsregla - Simpsonsreglan - Rúmmál snúða - Flatarmál ferla