Markgildi

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Markgildi er grundvallarhugtak í stærðfræðigreiningu. Hugtakið kemur gjarnan fyrst við sögu í menntaskóla þegar innleiða á deildun raungildra falla af einni breytistærð. Þá er sá skilningur lagður í orðið að fall hafi markgildi M í ákveðnum punkti a ef hægt er að hugsa sér að þegar breytistærðin x nálgast punktinn a þá nálgist fallgildið M. Hugmyndin um markgildi er svo notuð til þess að skilgreina samfelldni og afleiður. Markgildi kemur fyrir í ýmsu samhengi innan stærðfræðinnar, svo sem geta vigurgild föll af mörgum breytistærðum, runur og raðir öll haft markgildi. Almennasta skilgreining hugtaksins kemur úr grannfræði.

Skilgreining markgildis[breyta]

Þegar fjarlægð x er minni en δ frá c er fjarlægð f(x) frá L minni en ε.

Til eru ýmsar skilgreiningar á markgildi sem eru misjafnlega almennar og nákvæmar. Orðalagið sem notað er í inngangi þessarar greinar er ekki nægilega nákvæmt til þess að skera úr um hvort til dæmis kennifall ræðra talna (f = χℚ) eigi sér markgildi í nokkrum punkti. Hér eru nokkrar nákvæmari skilgreiningar:

Skilgreining á markgildi raungildra falla af einni breytistærð[breyta]

Látum f(x) vera raungilt fall af einni breytistærð, þ.e. X→ℝ: x → f(x) og X úr ℝ. Við segjum að f(x) hafi markgildið L þegar x stefnir á c, táknað:

 \lim_{x \to c}f(x) = L

ef fyrir sérhvert ε>0 er til δ>0 svoleiðis að |f(x) - L|<ε fyrir öll x þannig að 0<|x-c|<δ.

Vert er að taka fram að f(c) þarf ekki að vera skilgreint. Þessi skilgreining nefnist epsilon-delta skilgreining á markgildi og er sú formlega skilgreining sem Karl Weierstrass setti fram á 19. öld.

Skilgreining á markgildi runa[breyta]

Runa an er sögð hafa markgildi L, táknað an→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að |an - L|<ε. Runa sem hefur markgildi er sögð vera samleitin en annars ósamleitin.

Með sambærilegum hætti má skilgreina markgildi runu í firðrúmi: Runa an er sögð hafa markgildi L, táknað an→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að ρ(an,L)<ε. Þar sem ρ(x,y) táknar firð í gefnum firðrúmi. Þetta mætti orða sem svo að gera megi fjarlægðina á milli an og L svo litla sem vera skal með því að velja nægilega stórt N.

Einföld dæmi um markgildi raungildra falla[breyta]

\lim_{x\rightarrow 2} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2} 2x = 4

Táknmálið þýðir að þegar x nálgast töluna 2 þá stefnir fallgildið f(x) = 2x á töluna 4. Markgildið er því 4 í þessu tilfelli.

Sum föll hafa markgildi þegar x stefnir á óendanlegt:

\lim_{x \to \infty}{ f(x) } = \lim_{x \to \infty}{1 \over 1-x }= 0

Hins vegar hefur sama fall ekki markgildi þegar x stefnir á 1.

Sjá einnig[breyta]

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.