Deildun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Deildun (einnig þekkt sem diffrun, sjá samheiti innan stærðfræðinnar) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna afleiðu falls og út frá henni hallatölu snertils fallsins í gefnum punkti. Þar sem afleiðan (hallatalan) er jöfn núlli hefur fallið hágildi, lággildi eða beygjuskil. Ef gildi afleiðunnar er jákvætt (pósitíft) þá er fallið vaxandi, en sé gildið neikvætt (negatíft) þá er fallið minnkandi.

Sé afleiðan deilduð (diffruð) fæst svokölluð önnur afleiða. Hún hefur neikvætt (negatíft) gildi í hágildispunkti fallsins og jákvætt (pósitíft) gildi í lággildispunkti þess. Þar sem önnur afleiðan er jöfn núlli er svokallaður beygjuskilapunktur.

Deildun almenns veldisfalls er framkvæmd þannig: Stuðullinn a er margfaldaður með veldisvísinum n og síðan er veldi breytunnar x lækkað um 1: \frac{dx^n}{dx} = nx^{(n-1)}

Dæmið hér að ofan sýnir deildunarstíl Leibniz, en þar er \frac{df(x)}{dx} notað til þess að lýsa diffrun á fallinu f(x) með tilliti til breytunnar x. Annar stíll er til, sem kenndur er við Lagrange, en þar er fallið bara „merkt“: f'(x) = \frac{df(x)}{dx}. Að sama skapi er hægt að ítreka deildunina (önnur afleiða, þriðja afleiða,...) með því að merkja oftar: f''(x) = \frac{d(\frac{df(x)}{dx})}{dx}, og svo framvegis.

Notkun stafsins 'd' í deildunarstíl Leibniz kemur af latneska orðinu differentia, sem þýðir mismunur.

Nauðsynlegt skilyrði fyrir að fall sé deildanlegt er að það sé samfellt, en það er ekki nægjanlegt skilyrði, t.d. er algildisfallið |x| ekki deildanlegt í punktinum x = 0 og Weierstrassfallið, sem er alls staðar samfellt á rauntalnaásnum, er hvergi deildanlegt.

Andhverfa deildunar nefnist heildun.