„Staðall (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga

Efni eytt Efni bætt við

Innfellt

Nýjasta útgáfa síðan 15. mars 2020 kl. 02:39

Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði er tiltekið fall, táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak v í vigurrúmi V, þ.e. ||v|| eða |v|, og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við firð í firðrúmi.

Skilgreining[breyta | breyta frumkóða]

Látum $\mathbb {F}$ vera svið sem er annaðhvort rauntölusviðið $\mathbb {R}$ eða tvinntölusviðið $\mathbb {C}$ . Látum $V$ vera vigurrúm yfir $\mathbb {F}$ .

Staðall á $V$ er vörpun $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R}$ sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði:

$\|x\|\geq 0$ fyrir öll $x\in V$
$\|x\|=0$ ef og aðeins ef $x=0$
$\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|$ fyrir öll $x\in V$ og fyrir öll $\alpha \in \mathbb {F}$
$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ fyrir öll $x,y\in V$

Algengir staðlar vigurrúma[breyta | breyta frumkóða]

Evklíðski staðllinn

\|\mathbf {x} \|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.

er algengasti staðallinni í Rⁿ. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.

1-staðllinn

\|\mathbf {x} \|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.

p-staðallinn

\|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}

þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)

Óendanlegi staðallinn

\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).

Línlegar varpanir[breyta | breyta frumkóða]

Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpun A má reikna staðal staks x þannig:

\|A\mathbf {x} \|.

Eiginleikar staðla[breyta | breyta frumkóða]

Tveir staðlar ||•||_α og ||•||_β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.

C\|\mathbf {x} \|_{\alpha }\leq \|\mathbf {x} \|_{\beta }\leq D\|\mathbf {x} \|_{\alpha }

fyrir öll x í V.

Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru $l_{1}$ , $l_{2}$ og $l_{\infty }$ staðlarnir jafngildir í $\mathbb {R} ^{n}$ :

\|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|\mathbf {x} \|_{2}

\|\mathbf {x} \|_{\infty }\leq \|\mathbf {x} \|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|\mathbf {x} \|_{\infty }

\|\mathbf {x} \|_{\infty }\leq \|\mathbf {x} \|_{1}\leq n\|\mathbf {x} \|_{\infty }

Tengt efni[breyta | breyta frumkóða]

@@ Lína 1: / Lína 1: @@
 '''Staðall''' (einnig nefndur '''norm''') í [[stærðfræði]] er tiltekið [[fall (stærðfræði)|fall]], táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak '''v''' í [[vigurrúm]]i ''V'', þ.e. ||'''v'''|| eða |'''v'''|, og gefur [[já- eða neikvæð tala|jákvæða tölu]] fyrir hvern vigur, nema [[núllvigurinn]], en staðall hans er [[núll]]. Staðall er stundum kallaður ''lengd'' eða ''stærð'' staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við [[firð]] í [[firðrúm]]i.
+== Skilgreining ==
+Látum <math>\mathbb{F}</math> vera svið sem er annaðhvort [[Rauntala|rauntölusviðið]] <math>\mathbb{R}</math> eða [[Tvinntölur|tvinntölusviðið]] <math>\mathbb{C}</math>. Látum <math>V</math> vera [[vigurrúm]] yfir <math>\mathbb{F}</math>.
+Staðall á <math>V</math> er vörpun <math>\| \cdot \| : V \to \mathbb{R}</math> sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði:
+# <math>\| x \| \geq 0</math> fyrir öll <math>x \in V</math>
+# <math>\| x \| = 0</math> ef og aðeins ef <math>x=0</math>
+# <math>\| \alpha x \| = |\alpha| \| x \|</math> fyrir öll <math>x \in V</math> og fyrir öll <math>\alpha \in \mathbb{F}</math>
+# <math>\| x + y \| \leq \| x \| + \| y \|</math> fyrir öll <math>x, y \in V</math>
 == Algengir staðlar vigurrúma ==