Tvinntölur

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Talnamengi í stærðfræði
\mathbb{N} Náttúrlegar tölur
\mathbb{Z} Heiltölur
\mathbb{Q} Ræðar tölur
\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} Óræðar tölur
\mathbb{R} Rauntala
\mathbb{C} Tvinntölur
\mathbb{H} Fertölur
\mathbb{O} Áttundatölur
\mathbb{S} Sextándatölur

Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar i sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan z skilgreind sem z = x + iy, þar sem i er i^2=-1\! og y og x eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum \mathbb{C}, og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

\mathbb{C} = \left\{ (x+iy)|x,y \isin \mathbb {R} \and i^2=-1\right\}

Breyturnar x og y í tvinntölunni x + yi eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, \mathbb{R}, en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu y \isin \mathbb{R} og fastann i^2 = -1\!. Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Aðgerðir[breyta]

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í \mathbb{C} eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í \mathbb{C}). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem z = x_1 + y_1 i og w = x_2 + y_2 i :

z=\frac{\bar{w}}{|w|^2} eða w=\frac{\bar{z}}{|z|^2}

Ef z = x + yi er talan  \bar{z} = x - yi sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

z + \bar{z} = 2x
z - \bar{z} = 2yi
z\bar{z}=|z|^2
\frac{z}{\bar{z}}=\frac{z^2}{|z|^2}

Hlutar tvinntölu[breyta]

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar z = x + yi er notað fallið \Re \left(z\right) og er það skilgreint svo:

\Re \left( z \right) = x = \frac{1}{2} \left( z + \bar{z} \right)

Fyrir þverhlutann er fallið \Im \left(z\right) notað, en skilgreining þess er:

\Im \left( z \right) = y = \frac{1}{2i} \left( z - \bar{z} \right)

Í stað \Re \left(z \right) og \Im \left( z \right) er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að \Im \left( z \right) gefur rauntöluna y, ekki þvertöluna yi.

Lengd tvinntalna[breyta]

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

u = p + iq,\ |u| = \sqrt{p^2 + q^2}

Rithættir tvinntalna[breyta]

Pólhnit[breyta]

Pólhnit eru á forminu \left(r,\theta\right), þar sem að r lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og \theta lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

r = \sqrt{x^2 + y^2} \and \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) fyrir tvinntöluna x + yi

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

x = r \cdot \cos\left(\theta\right)
y = r \cdot \sin\left(\theta\right)

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

\left(r\left(\cos\left(\theta\right) + i \cdot \sin(\theta\right)\right)^n = r^n \left(\cos\left(n\theta\right) + i \sin\left(n\theta\right)\right)

Margföldun og deiling virka þannig:

\left(a, \alpha\right)\left(b, \beta\right) = \left(a \cdot b, \alpha + \beta\right)
\frac{\left(a, \alpha\right)}{\left(b, \beta\right)} = \left(\frac{a}{b}, \alpha - \beta\right)

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

(r, \theta)^n = (r^n, n \cdot \theta)

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

\sqrt{(r,\theta)} = (r,\theta)^{\frac{1}{2}} = (\sqrt{r}, \frac{\theta}{2})

Veldi[breyta]

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e. e^z þar sem að z er tvinntala.

z = x + yi
e^z = e^{x + yi} = e^x \cdot e^{yi}

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu e^x, en um þverhlutann gildir að

e^{yi} = cos(y) + i sin(y)

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

z = r \cdot \left(\cos(\theta) + i \sin(\theta)\right)
má segja að:
z = x + iy = (r, \theta) = r e^{i\theta}

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

z_1 \cdot z_2 = r_1e^{i\phi_1} \cdot r_2e^{i\phi_2} = r_1r_2 \cdot e^{i\phi_1 + i\phi_2} = r_1r_2 \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)}

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu:

e^{i\phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi) \and e^{-i\phi} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)
\cos(\phi) = \frac{e^{i\phi} + e^{-i\phi}}{2} \and \sin(\phi) = \frac{e^{i\phi} - e^{-i\phi}}{2i}