Tvinntölur

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Talnamengi í stærðfræði
Náttúrlegar tölur
Heiltölur
Ræðar tölur
Óræðar tölur
Rauntala
Tvinntölur
Fertölur
Áttundatölur
Sextándatölur

Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan skilgreind sem , þar sem er og og eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum , og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

Breyturnar og í tvinntölunni eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, , en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu og fastann . Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Aðgerðir[breyta | breyta frumkóða]

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í ). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem og  :

  • Samsemd: þ.þ.a.a. og
  • Samlagning:
  • Margföldun:
  • Deiling:
  • Margföldunarandhverfa: Ef eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:
eða

Ef er talan sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

Hlutar tvinntölu[breyta | breyta frumkóða]

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar er notað fallið og er það skilgreint svo:

Fyrir þverhlutann er fallið notað, en skilgreining þess er:

Í stað og er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að gefur rauntöluna , ekki þvertöluna .

Lengd tvinntalna[breyta | breyta frumkóða]

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

Rithættir tvinntalna[breyta | breyta frumkóða]

Pólhnit[breyta | breyta frumkóða]

Pólhnit eru á forminu , þar sem að lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

fyrir tvinntöluna

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

Margföldun og deiling virka þannig:

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

Veldi[breyta | breyta frumkóða]

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e. þar sem að z er tvinntala.

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu , en um þverhlutann gildir að

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

má segja að:

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu: