Fall (stærðfræði)

Í stærðfræði er fall vörpun milli formengis og bakmengis og er mikilvægt í öllum magnbundnum vísindinum. Orðin „fall“ og „vörpun“ eru oft notuð sem samheiti. Fallafræðin fjallar um föll.

Skilgreining

Fall samanstendur af formengi og bakmengi ásamt fyrirmælum um hvernig sérhverju staki í formenginu er úthlutað nákvæmlega einu staki úr bakmenginu.

Formlega táknum við fall f með formengi A og bakmengi B með $f:A\to B$. Fall f úthlutar þá sérhverju staki x í A nákvæmlega einu staki í B sem við táknum með f(x) og segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr B fallið tekur í sérhverju staki í A. Athugið að fleiri en eitt stak í A geta tekið sama gildið í B.

Til dæmis, ef bæði formengi og bakmengi falls f eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar f sérhverri rauntölu x annarri rauntölu, sem er þá táknuð f(x). Við segjum þá að f taki gildið f(x) í x. Myndmengi falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem f tekur í einhverju staki í formenginu. M.ö.o. er myndmengi falls f mengi allra staka y í bakmengi f þ.a. til er x í formengi f þ.a. f(x) = y. Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt. Við segju síðan að fall sé eintækt ef engin tvö stök í formenginu taka sama gildið. Fall er sagt gagntækt ef það er bæði átækt og eintækt.

Fall lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð x er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast f

Tákn

Hér eru tákn sem hefð er fyrir að nota:

Fall úr $A$ í $B$ er skilgreint þannig: $f:\ A\to B$

Skilgreiningarmengi fallsins $f$ er $D_{f}$

Myndmengi fallsins $f$ er $V_{f}$

Bakmengi fallsins $f$ er $B$

Algeng föll

Fastaföll

Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið f: R → R;f(x) := 1, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.

Margliðuföll

Margliðuföll eru af gerðinni f: R → R; f(x) := a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 þar sem n er náttúrleg tala og a_0,...a_n eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er raunfall eða tvinnfall.

Myndræn líking

Fall mætti líta á sem nokkurskonar ímyndaða stærðfræðilega „vél“. Líkt og aðrar vélar tekur hún eitthvað inn á sig, og skilar einhverju frá sér - bílvélar sem dæmi taka inn bensín og loft og skila frá sér hreyfiorku og hita. Sömuleiðis gæti fall tekið inn töluna „4“ og skilað út tölunni „8“ eftir að „vélin" hefði tvöfaldað töluna 4.

Dæmi um skilgreiningu falls f, sem tvöfaldar sérhverja tölu x: f(x) = 2x, þ.a. f(4) = 8. Í því dæmi er „4“ inntak fallsins, og „8“ úttakið. Fallið sjálft er jafngilt aðgerðinni 2•x, þar sem „•“ tákna margföldun.

Fallahugtök og tengt efni

• Stærðfræði samheiti
• Hlutleysufall
• Átækt fall
• Eintækt fall
• Gagntækt fall
• Ferill
• Faldmengi
• Takmarkað fall
• Samsetning falla
• Ósamfellt fall
• Kennifall

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.