Tvinntölur

Talnamengi í stærðfræði
$\mathbb {N}$	Náttúrlegar tölur
$\mathbb {Z}$	Heiltölur
$\mathbb {Q}$	Ræðar tölur
$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$	Óræðar tölur
$\mathbb {R}$	Rauntala
$\mathbb {C}$	Tvinntölur
$\mathbb {H}$	Fertölur
$\mathbb {O}$	Áttundatölur
$\mathbb {S}$	Sextándatölur

Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar $i$ sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan $z$ skilgreind sem $z=x+iy$, þar sem $i$ er $i^{2}=-1\!$ og $y$ og $x$ eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum $\mathbb {C}$, og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

$\mathbb {C} =\left\{(x+iy)|x,y\in \mathbb {R} \land i^{2}=-1\right\}$

Breyturnar $x$ og $y$ í tvinntölunni $x+yi$ eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, $\mathbb {R}$, en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu $y\in \mathbb {R}$ og fastann $i^{2}=-1\!$. Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Aðgerðir

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í $\mathbb {C}$ eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í $\mathbb {C}$). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem $z=x_{1}+y_{1}i$ og $w=x_{2}+y_{2}i$ :

• Samsemd: $z=w$ þ.þ.a.a. $x_{1}=x_{2}$ og $y_{1}=y_{2}$
• Samlagning: $z+w=\left(x_{1}+y_{1}i\right)+\left(x_{2}+y_{2}i\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(y_{1}+y_{2}\right)i$
• Margföldun: $zw=\left(x_{1}+y_{1}i\right)\left(x_{2}+y_{2}i\right)=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\right)+\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i$
• Deiling: ${\frac {z}{w}}={\frac {z{\bar {w}}}{|w|^{2}}}={\frac {\left(x_{1}+y_{1}i\right)\left(x_{2}-y_{2}i\right)}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$

• Margföldunarandhverfa: Ef $zw=1$ eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:

$z={\frac {\bar {w}}{|w|^{2}}}$ eða $w={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

Ef $z=x+yi$ er talan ${\bar {z}}=x-yi$ sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

$z+{\bar {z}}=2x$

$z-{\bar {z}}=2yi$

$z{\bar {z}}=|z|^{2}$

${\frac {z}{\bar {z}}}={\frac {z^{2}}{|z|^{2}}}$

Hlutar tvinntölu

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar $z=x+yi$ er notað fallið $\Re \left(z\right)$ og er það skilgreint svo:

$\Re \left(z\right)=x={\frac {1}{2}}\left(z+{\bar {z}}\right)$

Fyrir þverhlutann er fallið $\Im \left(z\right)$ notað, en skilgreining þess er:

$\Im \left(z\right)=y={\frac {1}{2i}}\left(z-{\bar {z}}\right)$

Í stað $\Re \left(z\right)$ og $\Im \left(z\right)$ er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að $\Im \left(z\right)$ gefur rauntöluna $y$, ekki þvertöluna $yi$.

Lengd tvinntalna

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

$u=p+iq,\ |u|={\sqrt {p^{2}+q^{2}}}$

Rithættir tvinntalna

Pólhnit

Pólhnit eru á forminu $\left(r,\theta \right)$, þar sem að $r$ lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og $\theta$ lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\land \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ fyrir tvinntöluna $x+yi$

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

$x=r\cdot \cos \left(\theta \right)$

$y=r\cdot \sin \left(\theta \right)$

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

$\left(r\left(\cos \left(\theta \right)+i\cdot \sin(\theta \right)\right)^{n}=r^{n}\left(\cos \left(n\theta \right)+i\sin \left(n\theta \right)\right)$

Margföldun og deiling virka þannig:

$\left(a,\alpha \right)\left(b,\beta \right)=\left(a\cdot b,\alpha +\beta \right)$

${\frac {\left(a,\alpha \right)}{\left(b,\beta \right)}}=\left({\frac {a}{b}},\alpha -\beta \right)$

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

$(r,\theta )^{n}=(r^{n},n\cdot \theta )$

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

${\sqrt {(r,\theta )}}=(r,\theta )^{\frac {1}{2}}=({\sqrt {r}},{\frac {\theta }{2}})$

Veldi

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e. $e^{z}$ þar sem að z er tvinntala.

$z=x+yi$

$e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}\cdot e^{yi}$

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu $e^{x}$, en um þverhlutann gildir að

$e^{yi}=cos(y)+isin(y)$

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

$z=r\cdot \left(\cos(\theta )+i\sin(\theta )\right)$

má segja að:

$z=x+iy=(r,\theta )=re^{i\theta }$

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

$z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}\cdot e^{i\phi _{1}+i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}\cdot e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}$

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu:

$e^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )\land e^{-i\phi }=\cos(\phi )-i\sin(\phi )$

$\cos(\phi )={\frac {e^{i\phi }+e^{-i\phi }}{2}}\land \sin(\phi )={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}$