Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Staðall (einnig nefndur norm ) í stærðfræði er tiltekið fall , táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak v í vigurrúmi V , þ.e. ||v || eða |v |, og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn , en staðall hans er núll . Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við firð í firðrúmi .
Látum
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
rauntölusviðið
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
tvinntölusviðið
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
V
{\displaystyle V}
vigurrúm yfir
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
Staðall á
V
{\displaystyle V}
‖
⋅
‖
:
V
→
R
{\displaystyle \|\cdot \|:V\to \mathbb {R} }
‖
x
‖
≥
0
{\displaystyle \|x\|\geq 0}
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
‖
x
‖
=
0
{\displaystyle \|x\|=0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
‖
α
x
‖
=
|
α
|
‖
x
‖
{\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {F} }
‖
x
+
y
‖
≤
‖
x
‖
+
‖
y
‖
{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}
x
,
y
∈
V
{\displaystyle x,y\in V}
‖
x
‖
2
:=
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
.
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}
er algengasti staðallinni í R n reglu Pýþagórasar .
‖
x
‖
1
:=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
.
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.}
‖
x
‖
p
:=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
p
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
þar sem p ≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)
‖
x
‖
∞
:=
max
(
|
x
1
|
,
…
,
|
x
n
|
)
.
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).}
Fyrir sérhverja gagntæka , línulega vörpun A má reikna staðal staks x þannig:
‖
A
x
‖
.
{\displaystyle \|A\mathbf {x} \|.}
Tveir staðlar ||•||α og ||•||β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.
C
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
β
≤
D
‖
x
‖
α
{\displaystyle C\|\mathbf {x} \|_{\alpha }\leq \|\mathbf {x} \|_{\beta }\leq D\|\mathbf {x} \|_{\alpha }}
fyrir öll x í V .
Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
l
∞
{\displaystyle l_{\infty }}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
‖
x
‖
2
≤
‖
x
‖
1
≤
n
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|\mathbf {x} \|_{2}}
‖
x
‖
∞
≤
‖
x
‖
2
≤
n
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }\leq \|\mathbf {x} \|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|\mathbf {x} \|_{\infty }}
‖
x
‖
∞
≤
‖
x
‖
1
≤
n
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }\leq \|\mathbf {x} \|_{1}\leq n\|\mathbf {x} \|_{\infty }}
