„Staðall (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga
m r2.7.2) (Vélmenni: Bæti við: cs, de, eo, fa, hu, lmo, lt, nn, no, simple, sl, uk Breyti: es, he |
m r2.7.3) (Vélmenni: Bæti við: cy:Norm (mathemateg); útlitsbreytingar |
||
Lína 1: | Lína 1: | ||
'''Staðall''' (einnig nefndur '''norm''') í [[stærðfræði]] er tiltekið [[fall (stærðfræði)|fall]], táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak '''v''' í [[vigurrúm]]i ''V'', þ.e. ||'''v'''|| eða |'''v'''|, og gefur [[já- eða neikvæð tala|jákvæða tölu]] fyrir hvern vigur, nema [[núllvigurinn]], en staðall hans er [[núll]]. Staðall er stundum kallaður ''lengd'' eða ''stærð'' staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við [[firð]] í [[firðrúm]]i. |
'''Staðall''' (einnig nefndur '''norm''') í [[stærðfræði]] er tiltekið [[fall (stærðfræði)|fall]], táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak '''v''' í [[vigurrúm]]i ''V'', þ.e. ||'''v'''|| eða |'''v'''|, og gefur [[já- eða neikvæð tala|jákvæða tölu]] fyrir hvern vigur, nema [[núllvigurinn]], en staðall hans er [[núll]]. Staðall er stundum kallaður ''lengd'' eða ''stærð'' staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við [[firð]] í [[firðrúm]]i. |
||
==Algengir staðlar vigurrúma== |
== Algengir staðlar vigurrúma == |
||
*''[[Evklíð]]ski staðllinn'' |
* ''[[Evklíð]]ski staðllinn'' |
||
:<math>\|\mathbf{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math> |
||
er algengasti staðallinni í |
er algengasti staðallinni í '''R'''<sup>''n''</sup>. gefur stærð vigurs skv. [[Pýþagórasarreglan|reglu Pýþagórasar]]. |
||
*''1-staðllinn'' |
* ''1-staðllinn'' |
||
:<math>\|\mathbf{x}\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.</math> |
||
*''p-staðallinn'' |
* ''p-staðallinn'' |
||
:<math>\|\mathbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}</math> |
||
þar sem ''p''≥ 1 . (''p'' = 1 og ''p'' = 2 gefa staðlana hér að ofan.) |
þar sem ''p''≥ 1 . (''p'' = 1 og ''p'' = 2 gefa staðlana hér að ofan.) |
||
*''Óendanlegi staðallinn'' |
* ''Óendanlegi staðallinn'' |
||
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).</math> |
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).</math> |
||
==Línlegar varpanir== |
== Línlegar varpanir == |
||
Fyrir sérhverja [[gagntækt fall|gagntæka]], [[línuleg vörpun|línulega vörpun]] ''A'' má reikna staðal staks '''x''' þannig: |
Fyrir sérhverja [[gagntækt fall|gagntæka]], [[línuleg vörpun|línulega vörpun]] ''A'' má reikna staðal staks '''x''' þannig: |
||
:<math>\|A\mathbf{x}\|.</math> |
:<math>\|A\mathbf{x}\|.</math> |
||
==Eiginleikar staðla== |
== Eiginleikar staðla == |
||
Tveir staðlar ||•||<sub>α</sub> og ||•||<sub>β</sub> í vigurrúmi ''V'' eru sagðir ''jafngildir'' ef til eru [[já- eða neikvæð tala|jákvæðar]] [[rauntala|rauntölur]] ''C'' og ''D'' þ.a. |
Tveir staðlar ||•||<sub>α</sub> og ||•||<sub>β</sub> í vigurrúmi ''V'' eru sagðir ''jafngildir'' ef til eru [[já- eða neikvæð tala|jákvæðar]] [[rauntala|rauntölur]] ''C'' og ''D'' þ.a. |
||
:<math>C\|\mathbf{x}\|_\alpha\leq\|\mathbf{x}\|_\beta\leq D\|\mathbf{x}\|_\alpha</math> |
:<math>C\|\mathbf{x}\|_\alpha\leq\|\mathbf{x}\|_\beta\leq D\|\mathbf{x}\|_\alpha</math> |
||
Lína 41: | Lína 41: | ||
[[ca:Norma (matemàtiques)]] |
[[ca:Norma (matemàtiques)]] |
||
[[cs:Norma (matematika)]] |
[[cs:Norma (matematika)]] |
||
[[cy:Norm (mathemateg)]] |
|||
[[da:Norm (matematik)]] |
[[da:Norm (matematik)]] |
||
[[de:Norm (Mathematik)]] |
[[de:Norm (Mathematik)]] |
Útgáfa síðunnar 10. október 2012 kl. 19:35
Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði er tiltekið fall, táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak v í vigurrúmi V, þ.e. ||v|| eða |v|, og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við firð í firðrúmi.
Algengir staðlar vigurrúma
- Evklíðski staðllinn
er algengasti staðallinni í Rn. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.
- 1-staðllinn
- p-staðallinn
þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)
- Óendanlegi staðallinn
Línlegar varpanir
Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpun A má reikna staðal staks x þannig:
Eiginleikar staðla
Tveir staðlar ||•||α og ||•||β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.
fyrir öll x í V.
Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru , og staðlarnir jafngildir í :