Formerkisfall

Formerkisfallið.

Formerkisfall er ósamfellt fall sem tekur gildið $-1$ þegar breyta þess er neikvæð og $1$ þegar breyta þess er jákvæð.

Skilgreining

Þar sem talan núll hefur ekkert formerki er formerkisfall óskilgreint fyrir núll, en stundum er þó eftirfarandi skilgreining notuð, fyrir rauntölur x:

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{ef }}x<0,\\0&{\text{ef }}x=0,\\1&{\text{ef }}x>0.\end{cases}}$.

Einnig má nota Heavisidefallið $H(x)$ til að skilgreina formerkisfall (nema þegar $x=0$):

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1$

þar sem $|x|$ er algildi tölunnar $x$.

Eiginleikar

Hægt er að tákna allar rauntölur sem margfeldi tölugildis þeirra og formerkisfallsins:

$x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,.\qquad \qquad (1)$

Hægt er að sjá frá jöfnu (1) að þegar skilgreiningin hér að ofan er notuð þá fæst

$\operatorname {sgn}(x)={x \over |x|}\,.\qquad \qquad (2)$, nema þegar x = 0.

Formerkisfallið er líka afleiða tölugildisins:

${d|x| \over dx}=\operatorname {sgn}(x)\,.$, en er þó óskilgreint fyrir x = 0.

Tvinntalnaformerkisfall

Hægt er að rita formerkisfallið fyrir tvinntölur:

$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$

fyrir hvert z ∈ $\mathbb {C}$ nema þegar z = 0. Formerkisfall sérhverrar tvinntölu z er sá punktur á einingarhringnum í tvinnsléttunni sem er næst z. Þá, þegar z ≠ 0 gildir:

$\operatorname {sgn} z=\exp(i\arg z)\,,$

þar sem arg z er fasahorn z.