Regla l'Hôpitals

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Regla l'Hôpitals (l'Hospitals) (borið fram Lóbí-TAL) er stærðfræðiregla, sem fæst við að reikna markgildi ræðra falla, sem eru óákvarðanleg (e. indeterminate) á þann hátt, að bæði teljari og nefnari brotsins stefna á núll eða þá að nefnari þess stefnir á óendanlegt. Þannig stefnir brotið annað hvort á eða þar sem er rauntala eða óendanlegt. Í slíkum tilvikum segir reglan að markgildi brotsins haldist óbreytt við það að diffra teljarann og nefnarann hvorn fyrir sig, að því gefnu að markgildi nýja brotsins sé til. Á táknmáli stærðfræðinnar lítur reglan þannig út:

Ef er rauntala eða og

  eða  

þá er

að því gefnu að og séu bæði diffranleg í grennd um og að markgildi sé til.

Til þess að athuga hvort sé til getum við endurtekið reglu l'Hôpitals á brotið ef það uppfyllir áðurnefnd skilyrði reglunnar.Svona getum við haldið áfram. Ef á endanum fæst markgildi sem er til er það hið sama og markgildi upprunalega brotsins. Ef markgildið er hins vegar ekki til var ekki hægt að nota reglu l'Hôpitals til að byrja með og við erum engu nær hvort eigi sér markgildi eða ekki.

Sýnidæmi[breyta | breyta frumkóða]

  • Skoðum . Hér er og , svo við höfum 0/0 tilfelli.

Þar sem og eru bæði diffranleg í 0 segir reglan okkur að og þar sem seinna markgildið er til gildir það jafnframt um það fyrra.

  • Lítum á . Nefnarinn stefnir á svo við reynum að nota reglu l'Hôpitals. Hún gefur okkur að
svo upprunanlega fallið stefnir jafnframt á .
  • Hér er dæmi um fall þar sem endurtekinnar beitingar reglunnar er þörf.
(0/0 tilfelli)
(0/0 tilfelli)
  • Í eftirfarandi dæmi segir regla l'Hôpital okkur ekkert. Skoðum

. Nefnarinn stefnir á svo við fáum ef seinna markgildið er til. En það er ekki til því á sér ekkert markgildi í óendanlegu. Regla l'Hôpitals var því ekki réttlætt hér, og við verðum að ráðast á upprunalega markgildið öðruvísi.

Reyndar sjáum við að

þar sem síðasta jafnaðarmerkið er réttlætt með klemmureglu. Upprunalega fallið á sér sem sagt markgildi, þótt regla l'Hôpital hafi ekki getað ákvarðað það.

  • Athugum nú tilfelli þar sem blind notkun reglu l'Hôpital leiðir okkur í ógöngur.

Skoðum . Við sjáum strax að . Með endurtekinni beitingu á reglu l'Hôpital fáum við hins vegar

Í mörgum tilfellum er betra að nota reglu Taylors til að finna markgildi.

Saga reglunnar[breyta | breyta frumkóða]

Þessi regla er nefnd eftir franska 17. aldar stærðfræðingnum Guillaume François Antoine de l'Hôpital (1661 - 1704), vegna þess að hún birtist fyrst í bók hans, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), en það var fyrsta kennslubókin sem skrifuð var um stærðfræðigreiningu. Regluna hafði hann hins vegar fengið frá Johann Bernoulli.