Minnsti samnefnari

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Minnsti samnefnarinn eða minnsta samfeldi (skammstafað msn) er í stærðfræðitala sem er minnsta sameiginlega margfeldi nefnara í einhverju mengi almennra brota.

Minnsta samfeldi tveggja náttúrlegra talna er minnsta talan sem báðar tölurnar ganga upp í. Minnsta samfeldi náttúrlegu talnanna a og b er táknað með msn(a,b). Einfalt er að finna minnsta samfeldi. Tölurnar tvær eru raktar í frumþætti (sjá frumþáttun). Þá er búin til ný tala sem er margfeldi allra frumþátta úr tölunum tveimur, þó þannig að ef sami þáttur kemur fyrir í báðum tölum kemur hann aðeins einu sinni fyrir í nýju tölunni. Nýja talan er minnsta samfeldið.

Ef a og b eru náttúrlegar tölur þá gildir að margfeldi minnsta samfeldis og stærsta samdeilis er jafnt margfeldi a og b, þ.e. ssd(a,b) ∙ msn(a,b) = a ∙ b

Þetta verður augljóst þegar haft er í huga hvernig stærsti samdeilir og minnsta samfeldi eru búin til úr frumþáttum talnanna a og b. Í msn(a,b) eru allir þættir talnanna tveggja, en þeir sem eru sameiginlegir koma bara einu sinni fyrir. Í ssd(a,b) eru sameiginlegu frumþættirnir og margfeldi ssd(a,b) og msn(a,b) inniheldur því alla frumþætti talnanna a og b og tvo af hverjum sameiginlegum þætti. Margfeldi ssd(a,b) og msn(a,b) er því margfeldi allra frumþátta talnanna tveggja sem er það sama og margfeldi talnanna sjálfra.

Dæmi[breyta]

Sem dæmi, ef við höfum almennu brotin

\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right\}\!

þá sjáum við að minnsti samnefnari þeirra er 4, þar sem 4 er minnsta sameiginlega margfeldi 2 og 4. Sömuleiðis fáum við að minnsti samnefnari fyrir

\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right\}\!

er 6. Minnsti samnefnari gerir okkur kleift að framkvæma samlagningu og frádrátt á almenn brot:

  • \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{2+3}{6} =\frac{5}{6} \!
  • 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3}-\frac{2}{3} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}\!

Heimild[breyta]

  • Stærðfræðivefur Kennaraháskóla Íslands, Guðmundur Birgisson, júní 2001