Mál (stærðfræði)

Mál í stærðfræði er vörpun frá mengi hlutmengja í gefnu mengi yfir í rauntölurnar. Mál á mengi getur verið túlkað sem stærð, rúmmál eða líkindi þess. Hugtakið mál hefur þróast útfrá vilja til þess að geta heildað föll yfir almenn mengi í staðin fyrir bil eins og venjulega er gert, og er mjög mikilvægt í stærðfræðigreiningu og líkindafræði.

Málfræði

Málfræði er grein innan raunfallagreiningar sem fæst við það að rannsaka sigma algebrur, mál, mælanleg föll og heildi. Málfræði er mikilvæg í líkindafræði og tölfræði.

Formleg Skilgreining

Formlega er mál μ vörpun skilgreind á σ-algebru Σ yfir mengi X sem tekur gildi á útvíkkaða rauntalnaásnum eða útvíkkaða bilinu [0, ∞] þannig að eftirfarandi eiginleikar eru uppfylltir:

• Tómamengið hefur mál núll:

$\mu (\varnothing )=0;$

• Teljanlegt sammengi er stak: Ef $E_{1},E_{2},E_{3},\,\!$ ... er teljanleg runa af mengjum í Σ sem eru sundurlæg tvö og tvö, þá er mál sammengis þeirra jafnt summu af máli hvers mengis fyrir sig:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$

Þrenndin (X,Σ,μ) er þá kölluð málrúm, og stökin í Σ eru mælanleg mengi.

Heimildir

Fyrirmynd greinarinnar var „Measure (mathematics)“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 1. nóvember 2006.

• Jón Ragnar Stefánsson (2005). Mál- og tegurfræði fyrirlestrar. Háskóli Íslands.