Munur á milli breytinga „Samfelldni“

Jump to navigation Jump to search
491 bæti bætt við ,  fyrir 14 árum
bætti við samfelldni í friðrúmi o.fl.
(bætti við skilgr. um grannrúm)
(bætti við samfelldni í friðrúmi o.fl.)
'''Samfelldni''' er einn mikilvægasta eiginleiki [[fall (stærðfræði)|falla]] í [[stærðfræðigreining|örsmæðarreikningi]] og [[grannfræði]], en hana er ekki auðvelt að skilgreina.
Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallfallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall ''f'' er samfellt í punkti ''y'' ef það er skilgreint í ''y'' og [[tölugildi]]ð |''f''(''y'') - ''f''(''x'')| nálgist [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''. Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''.
 
===Samfelldni íraungilds grannrúmi=falls==
M.ö.o. er fall ''f'' sagt samfellt í punkti ''y'' ef fallið er skilgrint í ''y'' og [[tölugildi]]ð |''f''(''y'') - ''f''(''x'')| nálgist [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''. Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''.
Raungilt fall <math> f: X \rightarrow Y </math>, sem skilgreint er á [[hlutmengi]] [[rauntala|rauntalnanna]], er sagt samfellt ef það hefur [[markgildi]] fyrir einhvern punkt ''y'' í [[iður|iðri]] [[formengi]]sins ''X'' og að markgildið <math>\lim_{x\to y}f(x)</math> sé til og jafnt fallgildinu í ''y'', þ.e.
 
:<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math>.
===Samfelldni í grannrúmi===
Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>.
Ef ''X'' og ''Y'' eru [[grannrúm]], er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu.
 
Fall ''f'' er sagt '''samfellt''' í [[punktur|punkti]] ''y'' ef til er [[götuð grennd]] ''I'' við ''y'' þ.a. um öll ''x'' í ''I'' gildi:
 
==Samfelldni í grannrúmi==
:<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math>
Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>.
Ef ''X'' og ''Y'' eru [[grannrúm]], er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu.
 
==Samfelldni í firðrúmi==
Ef<math> (X,d_x), (Y,d_y) </math> eru [[firðrúm]] er fallið ''f'' <math> f: X \rightarrow Y </math> sagt samfellt í ''x'' ef að fyrir öll &epsilon; > 0 er til &delta; > 0 þ.a. <math> d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon </math>.
 
 
10.358

breytingar

Leiðsagnarval