„Samfelldni“: Munur á milli breytinga

Efni eytt Efni bætt við

Innfellt

Útgáfa síðunnar 28. ágúst 2007 kl. 14:29

Samfelldni er einn mikilvægasta eiginleiki falla í örsmæðarreikningi og grannfræði, en hana er ekki auðvelt að skilgreina. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.

Samfelldni raungilds falls

Raungilt fall $f:X\rightarrow Y$ , sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið $\lim _{x\to y}f(x)$ sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.

\lim _{x\to y}{f(x)}=f(y)

.

Samfelldni í grannrúmi

Fyrir almennt grannrúm gildir að fall $f:X\rightarrow Y$ er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi $U\in Y$ gildir að $f^{-1}(U)$ er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a. $f(U)\subset V$ . Ef X og Y eru grannrúm, er skilgreiningin jafngild sígildri " $\epsilon -\delta$ ": skilgreiningu.

Samfelldni í firðrúmi

Ef $(X,d_{x}),(Y,d_{y})$ eru firðrúm er fallið f $f:X\rightarrow Y$ sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. $d_{x}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{y}(f(x),f(y))<\epsilon$ .

Snið:Stæ-stubbur

@@ Lína 1: / Lína 1: @@
 '''Samfelldni''' er einn mikilvægasta eiginleiki [[fall (stærðfræði)|falla]] í [[stærðfræðigreining|örsmæðarreikningi]] og [[grannfræði]], en hana er ekki auðvelt að skilgreina.
-Lýsa má samfelldni (losaralega) þannig að fall sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum.
+Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall ''f'' er samfellt í punkti ''y'' ef það er skilgreint í ''y'' og [[tölugildi]]ð |''f''(''y'') - ''f''(''x'')| nálgist [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''. Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''.
+==Samfelldni raungilds falls==
-M.ö.o. er fall ''f'' sagt samfellt í punkti ''y'' ef fallið er skilgrint í ''y'' og [[tölugildi]]ð |''f''(''y'') - ''f''(''x'')| nálgist [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''. Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''.
+Raungilt fall <math> f: X \rightarrow Y </math>, sem skilgreint er á [[hlutmengi]] [[rauntala|rauntalnanna]], er sagt samfellt ef það hefur [[markgildi]] fyrir einhvern punkt ''y'' í [[iður|iðri]] [[formengi]]sins ''X'' og að markgildið <math>\lim_{x\to y}f(x)</math> sé til og jafnt fallgildinu í ''y'', þ.e.
+:<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math>.
-===Samfelldni í grannrúmi===
-Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>.
-Ef ''X'' og ''Y'' eru [[grannrúm]], er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu.
-Fall ''f'' er sagt '''samfellt''' í [[punktur|punkti]] ''y'' ef til er [[götuð grennd]] ''I'' við ''y'' þ.a. um öll ''x'' í ''I'' gildi:
+==Samfelldni í grannrúmi==
-:<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math>
+Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>.
+Ef ''X'' og ''Y'' eru grannrúm, er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu.
+==Samfelldni í firðrúmi==
+Ef<math> (X,d_x), (Y,d_y) </math> eru [[firðrúm]] er fallið ''f'' <math> f: X \rightarrow Y </math> sagt samfellt í ''x'' ef  að fyrir öll &epsilon; > 0 er til &delta; > 0 þ.a. <math> d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon </math>.