Gammafallið

Gammafallið á rauntalnaásnum.

Gammafallið er ósamfellt fall, táknað með Γ og skilgreint með eftirfarandi heildi:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

Með hlutheildun fæst:

$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).$

Þegar n er náttúrleg tala má leiða eftirfarandi út:

$\Gamma (1)=1\,$ og

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,$

sem sýnir tengsl gammafallsins við aðfeldi, en líta má á gammafallið sem útvíkkun aðfeldis yfir tvinntölurnar.

Gammafallið er venslað zetufalli Riemanns með eftirfarandi jöfnu:

$\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!,$

sem gildir fyrir Re(z) > 1.

Gammafallið í tvinntalnasléttunni

Carl Friedrich Gauss notaði annan, einfaldari rithátt fyrir það, sem í dag nefnist gammafallið, nefnilega:

$\Pi (n)=n!\,$

  Þessi grein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.