Frumtala

Frumtala (eða prímtala) er náttúruleg tala, sem er stærri en 1 og er ekki margfeldi tveggja smærri náttúrulegra talna. Talan 1 er ekki skilgreind sem frumtala þar sem hún er eining og gengur því upp í sérhverja náttúrulega tölu. Samsettar tölur (eða þáttanlegar tölur) eru andstæður frumtalna en það eru tölur sem hafa jákvæðan deili annan en 1 og sjálfa sig.

Nokkrar staðreyndir um frumtölur

Þær frumtölur sem eru lægri en 100 eru: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Til eru óendanlega margar frumtölur. Ef svo væri ekki getum við látið $P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$ tákna mengi með endanlegan fjölda staka sem innihéldi allar frumtölurnar. Skoðum töluna $t=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \dots \cdot p_{n}+1$ . Sérhver frumtala í $P$ skilar þá 1 í leif þegar henni er deilt í $t$ . En þá er $t$ annað hvort frumtala sjálf sem er stærri en þær sem eru í $P$ , eða þá að hún er margfeldi frumtalna sem eru ekki meðal þeirra í $P$ . Hvoru tveggja er mótsögn, svo það fær ekki staðist að $P$ sé mengi allra frumtalna. Þessi sönnun er kennd við Evklíð og byggir á annarri sönnun, undirstöðusetningu reikningslistarinnar, um að allar náttúrlegar tölur stærri en 2 megi rita sem margfeldi frumtalna.
Það hefur ekki fundist lokuð formúla fyrir frumtölur. Stærsta frumtala sem fundist hefur er Mersenne frumtalan $2^{57885161}-1$ , sem fannst árið 2013. (Upplýsingar frá nóvember 2015, en.W).
Frumtölur sem eru samliggjandi oddatölur, eins og til dæmis 17 og 19, 71 og 73 o.s.frv., eru nefndar tvíburafrumtölur (enska: twin primes).
Tala í tugakerfinu sem endar á 5 eða sléttri tölu getur ekki verið frumtala (nema hún sé 2 og 5). Ef þversumma tölunnar er deilanleg með 3 þá er talan sjálf deilanleg með 3. (T.d. er talan 5217 deilanleg með 3 því 5+2+1+7=15 er deilanleg með 3).
Sé deilt með 6 í frumtölu, sem er stærri en 5, verður afgangurinn alltaf annað hvort 1 eða 5. Því ef leifin er slétt er talan sjálf slétt, og ef afgangurinn er 3 má deila tölunni sjálfri með 3.
Litla setning Fermats segir að ef $p$ er frumtala, og $a$ er ósamþátta $p$ , þá er $a^{p-1}\equiv 1({\text{mod }}p)$ . Hún er gjarnan notuð til að sýna fram á að tala sé ekki frumtala. Almennari útgáfa hennar er notuð til að sýna fram á virkni RSA dulkóðunarkerfisins.
Með frumþáttun má finna frumþætti náttúrlegra talna, en frumþættirnir eru einstakir fyrir hverja tölu.

Vöxtur frumtalna og umfang reikninga

Ef við lítum á $p_{1},p_{2},\dots$ sem óendanlega runu frumtalna, þá segir frumtalnasetningin okkur að frumtalan $p_{n}$ sé u.þ.b. $n\cdot \ln(n)$ , og að matið batnar eftir því sem $n$ stækkar.
Þær eru mikið notaðar í dulkóðun. Sem dæmi eru þær undirstaða öryggis RSA reikniritsins, þar sem það að þátta tölu er talið vera erfitt og núverandi aðferðir ganga út á að hreinlega prófa alla mögulega þætti (sjá hér að neðan).
Hægt er að ganga úr skugga um hvort tala $t$ sé frumtala með því að prófa að deila sérhverri frumtölu $p\leq {\sqrt {t}}$ í $t$ og athuga hvort leifin sé 0. Það nægir að athuga frumtölur á þessu bili ef þær upplýsingar eru til staðar. Sem dæmi er hægt að athuga hvort talan 143 sé frumtala með því skoða hvort einhver frumtalnanna 2, 3, 5, 7 og 11 gangi upp í 143. Við skoðum ekki 13 þar sem ${\sqrt {t}}<12$ . Í ljós kemur að 11 gengur 13 sinnum upp í 143, svo talan er ekki frumtala. Ástæðan fyrir því að kvarðatrótin nægir er sú að ef einhver tala $b>{\sqrt {t}}$ gengur upp í $t$ , þá er talan $a={\frac {t}{b}}<{\frac {t}{\sqrt {t}}}={\sqrt {t}}$ svo leit okkar fram að kvarðatrótinni af $t$ myndi finna þáttinn $a$ .
Reikniritið að ofan tekur $O({\sqrt {n}})$ tíma sem er ekki margliða í stærð inntaksins (þ.e. fjöldi bita í $n$ ). Árið 2004 sýndu þrír nemendur við IIT Kanpur, þeir Agrawal, Kayal og Saxena, fram á að unnt er að athuga hvort tala sé frumtala eða ekki í tíma sem er margliða í fjölda bita í $n$ .