Formúla Bayes

Formúla Bayes, einnig setning Bayes, er formúla í líkindafræði sem segir til um samhengið milli líka á tveimur atburðum. Á líkindamáli: þar sem að $P(A)$ eru líkurnar á atburði A og $P(B)$ líkurnar á atburði B, og $P(B|A)$ líkurnar á atburði B þegar gefið er að atburður A gerist, það er:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}\!$

Saga

Formúlan er kennd við séra Thomas Bayes (f. 1701 og d. 1761). Bayes lærði rökfræði og guðfræði við Edinborgarháskóla og varð síðar prestur í London og Kent-sýslu á Suðaustur-Englandi. Á fjórða áratugi 18. aldar gaf hann út tvö verk, eitt í guðfræði og hitt um örsmæðareiking. Árið 1742 var hann kjörinn félagi í Royal Society of London, sennilega vegna rannsókna hans á örsmæðareikningi. Á seinni árum hafði hann mikinn áhuga á líkindafræði. Hann veiktist illa um 1755 og dó sex árum síðar. Fjölskylda Bayes sendi Richard Price stærðfræðingi öll bréf hans um stærðfræði og líkindafræði. Í þeim bréfum var meðal annars óbirt handrit um binomial-dreifingar þar sem sérstakt tilfelli setningarinnar kemur fram. Richard lagfærði handritið verulega um tveggja ára skeið og sendi það til kynningar fyrir Royal Society of London árið 1763.

Pierre-Simon LaPlace stærðfræðingur birti formúluna í almennu formi árið 1774 og aftur árið 1812 og virðist ekki hafa vitað um handrit Bayes. LaPlace er þekktur fyrir að þróa hughyggju í líkindafræði (e. Bayesian probability) á grundvelli þessara verka. Hughyggjumenn telja að líkindi séu magngreining á trú á atburðum. Helsta ályktunaraðferð hughyggjunnar (e. Bayesian inference) notar formúlu Bayes til að uppfæra líkur á atburðum eftir því sem nýjar upplýsingar berast.

Sönnun

Sönnun formúlunnar byrjar á skilgreiningu á skilyrtum líkum:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

þar sem $P(A\cap B)$ eru líkurnar á að bæði A og B gerast. Á sama hátt,

$P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

Þannig hefur maður að

$P(A|B)P(B)=P(A\cap B)=P(B|A)P(A)$

og þaðan er formúla Bayes.

Dæmi

Frægt dæmi sýnir tengsl milli tilfella einkenna og sjúkdómatíðni: í 99% tilfellum sjúkdóms er alvarlegur hósti, og tíðni sjúkdómsins er 1 af 10.000 (þ.e. 0.01%) í samfélaginu. Ef 5% samfélagsins eru með alvarlegan hósta, þá eru hverfandi líkur (0.198%) á því að greinast með sjúkdóminn bara vegna hósta:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}={\frac {0.99\times 0.0001}{0.05}}=0.00198$

þar sem A er að greinast með sjúkdóminn og B er að vera með alvarlegan hósta.

Líkurnar eru hverfandi vegna þess að einstaklingar með hósta og sjúkdóminn eru tiltölulega fáir miðað við þá með hósta í samfélaginu.

Heimildir

• Fyrirmyndir eru greinar um formúluna og um Thomas Bayes á ensku útgáfu Wikipedia. Sóttar 4. mars 2024.

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.