Bolzanosetningin

Hringurinn sýnir c, bláu línurnar sýna lokaða bilið [a,b].

Bolzanosetningin er setning kennd við tékkneska stærðfræðinginn Bernard Bolzano.

Hún segir að ef að fall f er samfellt á lokuðu bili [a, b], og að f(a) og f(b) hafa gagnstæð formerki, þá sé til tala c á opna bilinu ]a,b[ þannig að f(c) = 0. Orða má setninguna lauslega þannig að ef samfellda fallið skipti um formerki á bilinu, þá skeri það x-ásinn einhvers staðar á bilinu.

Sönnun

Hér er notaður sá eiginleiki mengja, sem eru takmörkuð að ofan, að þau hafa efra mark. Gefið sé fall f sem uppfyllir skilyrði setningarinnar, við viljum sýna að það skeri x-ás að minnsta kosti á einum stað. Fallið gæti vitaskuld skorið x-ás á fleiri en einum stað, en við takmörkum leit okkar við þann skurðpunkt á x-ás sem næstur er endapunktinum b. Við getum gert ráð fyrir að $f(a)<0$ og $f(b)>0$, því ef svo er ekki gætum við litið á -f í stað f. Skilgreinum mengi allra staka úr skilgreiningarmengi f þannig að fallgildin eru neikvæð eða núll:

$A=\{x\in [a,b]:f(x)\leq 0\}$

Tökum eftir að þetta mengi er ekki tómt, þar sem $f(a)<0$ og því $a\in A$. Auk þess er það takmarkað að ofan þar sem $x\leq b$ fyrir öll x úr A. Skilgreinum því næst efri mörk A sem c. Sýnum að c hljóti að vera núllstöð fallsins f. Ef $f(c)>0$ þá er til $\delta >0$ þannig að $f(x)>0$ ef $c-\delta <x\leq >c$. Það hefur í för með sér að $c-\delta$ er yfirtala mengisins A, en það er í mótsögn við að c sé efra mark, þ.e. minnsta yfirtala mengisins A. Ef $f(c)<0$, þá er til $\delta >0$ þannig að $f(x)<0$ ef $c\leq x<c+\delta$. Sér í lagi er $f(c+\delta /2)<0$ og því $c+\delta /2\in A$, en það er í mótsögn við að $x\leq c$ fyrir öll x úr A. Eini möguleikin er því að $f(c)=0$. Enn fremur er ljóst að c er úr opna bilinu (a,b) vegna þess að $f(a)\neq 0$ og $f(b)\neq 0$.