Bolzanosetningin

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Hringurinn sýnir c, bláu línurnar sýna lokaða bilið [a,b].

Bolzanosetningin er setning kennd við tékkneska stærðfræðinginn Bernard Bolzano.

Hún segir að ef að fall f er samfellt á lokuðu bili [a, b], og að f(a) og f(b) hafa gagnstæð formerki, þá sé til tala c á opna bilinu ]a,b[ þannig að f(c) = 0. Orða má setninguna lauslega þannig að ef samfellda fallið skipti um formerki á bilinu, þá skeri það x-ásinn einhvers staðar á bilinu.

Sönnun[breyta | breyta frumkóða]

Hér er notaður sá eiginleiki mengja, sem eru takmörkuð að ofan, að þau hafa efra mark. Gefið sé fall f sem uppfyllir skilyrði setningarinnar, við viljum sýna að það skeri x-ás að minnsta kosti á einum stað. Fallið gæti vitaskuld skorið x-ás á fleiri en einum stað, en við takmörkum leit okkar við þann skurðpunkt á x-ás sem næstur er endapunktinum b. Við getum gert ráð fyrir að og , því ef svo er ekki gætum við litið á -f í stað f. Skilgreinum mengi allra staka úr skilgreiningarmengi f þannig að fallgildin eru neikvæð eða núll:

Tökum eftir að þetta mengi er ekki tómt, þar sem og því . Auk þess er það takmarkað að ofan þar sem fyrir öll x úr A. Skilgreinum því næst efri mörk A sem c. Sýnum að c hljóti að vera núllstöð fallsins f. Ef þá er til þannig að ef . Það hefur í för með sér að er yfirtala mengisins A, en það er í mótsögn við að c sé efra mark, þ.e. minnsta yfirtala mengisins A. Ef , þá er til þannig að ef . Sér í lagi er og því , en það er í mótsögn við að fyrir öll x úr A. Eini möguleikin er því að . Enn fremur er ljóst að c er úr opna bilinu (a,b) vegna þess að og .