Zetufall Riemanns

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Zetufallið í tvinntalnasléttunni

Zetufall Riemanns, táknað með ζ(s), er tvinngilt fall með tvinntölubreytu s, sem skilgreint er á tvinntalnasléttunni, nema þar sem raunhluti breytunnar er einn.

Zetufallið er skilgreint þannig, fyrir Re(s) > 1:


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

en mögulegt er að útvíkka það yfir alla tvinntalnasléttuna, þar sem Re(s) ≠ 1. Ofantalin framsetning Zetufallsins er sértilvik af Dirichlet-röð með an = 1.

Útvíkkun á tvinntalnasléttunni[breyta]

Útvíkkun zetufallsins á allri tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) ≠ 1 gefur:

\zeta(s) = \frac{\Gamma(1-s)}{2 \pi i} \int_{+\infty}^{+\infty} \frac{(-x)^{s}}{e^x - 1} \frac{\mathrm{d}x}{x},

þar sem heildað er meðfram jákvæða hluta x-ássins, einu sinni umhverfis núllpunktinn, sem einnig rita á forminu

\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}} 
\sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (k+1)^{-s}.

Zetufallið sett fram með margfeldum Eulers[breyta]

Leonhard Euler, setti fram eftirfarandi samband fyrir rauntölu s > 1:


\begin{align}
\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ primtala}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots,
\end{align}

þar sem p er frumtala (prímtala).

(Með því að setja s = 1 fæst umhverfuröð.)

Riemann sýndi af röðin hér að ofan er samleitin fyrir allar tvinntölur s með Re(s) > 1. Gefa má eftirfarandi samband fyrir umhverfu zetufallsins:

 \frac{1}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1-p^{-s})= \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s}

þar sem μ er Möbiusfallið.

Zetufallið á tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) < 0[breyta]

Eftirfarandi jafna gildir á hálfsléttunni Re(s) < 0 :


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
,

þar sem Γ táknar gammafallið.

Afleiða zetufallsins[breyta]

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s},

þar sem Λ táknar Mangoldtsfallið.

Núllstöðvar zetufallsins[breyta]

Zetufallið hefur engar núllstöðvar á hálfsléttunni Re(s) > 1, en á hálfsléttunni Re(s) < 0 hefur zetufallið núllstöðvarnar s = -2n, þar sem n er náttúrleg tala. Aðrar núllstöðvar, sem eru óendanlega margar, liggja á borðanum 0 < Re(s) < 1, samhverft um ásana Im(s) = 0 og Re(s) = ½. Ósönnuð tilgáta Riemanns segir að allar "áhugaverðar" núllstöðvar liggi á línunni Re(s) = ½.

Tengsl zetufallsins við frumtölur[breyta]

Talið er að zetufallið geti gefið mikilvægar upplýsingar um dreifingu frumtalna.

Wiki letter w.svg  Þessi grein er stubbur sem ekki hefur verið settur í undirflokk. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina, eða með því að flokka hana betur.