Mangoldtsfallið

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Mangoldtsfallið eða fall von Mangoldts er heiltölufall, sem kemur við sögu í talnafræði.

Skilgreining[breyta]

\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \mbox{ef }n=p^k \mbox{ fyrir primtolu } p \mbox{ og heiltolu } k \ge 1, \\ 0 & \mbox{annars.} \end{cases}

Fall von Mangolds uppfyllir eftirfarandi:

\log n  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,

þar sem summan er yfir alla þætti d heiltölunnar n.

Tengsl við Dirichletraðir[breyta]

Mangoldtsfallið er nátengt föllum, sem skilgreind eru með Dirichletröðum, t.d.

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

þar sem ζ er Zetufall Riemanns og Re(s) > 1.

Afleiða lograns af zetufallinu verður þá

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.