Gammafallið

Gammafallið á rauntalnaásnum.

Gammafallið er ósamfellt fall, táknað með Γ og skilgreint með eftirfarandi heildi:

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$

Með hlutheildun fæst:

$\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z).$

Þegar n er náttúrleg tala má leiða eftirfarandi út:

$\Gamma(1) = 1 \,$ og

$\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,$

sem sýnir tengsl gammafallsins við aðfeldi, en líta má á gammafallið sem útvíkkun aðfeldis yfir tvinntölurnar.

Gammafallið er venslað zetufalli Riemanns með eftirfarandi jöfnu:

$\zeta(z) \; \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{z-1}}{e^u - 1} \; \mathrm{d}u \,\!,$

sem gildir fyrir Re(z) > 1.

Gammafallið í tvinntalnasléttunni

Carl Friedrich Gauss notaði annan, einfaldari rithátt fyrir það, sem í dag nefnist gammafallið, nefnilega:

$\Pi(n) = n!\,$

  Þessi grein er stubbur sem ekki hefur verið settur í undirflokk. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina, eða með því að flokka hana betur.