Tvinntölur

Talnamengi í stærðfræði
$\mathbb{N}$	Náttúrlegar tölur
$\mathbb{Z}$	Heiltölur
$\mathbb{Q}$	Ræðar tölur
$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$	Óræðar tölur
$\mathbb{R}$	Rauntala
$\mathbb{C}$	Tvinntölur
$\mathbb{H}$	Fertölur
$\mathbb{O}$	Áttundatölur
$\mathbb{S}$	Sextándatölur

Tvinntölur er talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk þvertölunnar $i$ sem jafngildir ferningsrótinni af -1. Þannig er tvinntalan $z$ skilgreind sem $z = x + iy$, þar sem $i$ er $i^2=-1\!$ og $y$ og $x$ eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum $\mathbb{C}$, og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

$\mathbb{C} = \left\{ (x+iy)|x,y \isin \mathbb {R} \and i^2=-1\right\}$

Breyturnar $x$ og $y$ í tvinntölunni $x + yi$ eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, $\mathbb{R}$, en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu $y \isin \mathbb{R}$ og fastann $i^2 = -1\!$. Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Aðgerðir

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í $\mathbb{C}$ eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í $\mathbb{C}$). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem $z = x_1 + y_1 i$ og $w = x_2 + y_2 i$ :

• Samsemd: $z = w$ þ.þ.a.a. $x_1 = x_2$ og $y_1 = y_2$
• Samlagning: $z + w = \left(x_1 + y_1 i\right) + \left(x_2 + y_2 i\right) = \left(x_1 + x_2\right) + \left(y_1 + y_2\right)i$
• Margföldun: $zw = \left(x_1 + y_1 i\right) \left(x_2 + y_2 i\right) = \left(x_1 x_2 - y_1 y_2\right) + \left(x_1 y_2 + x_2 y_1\right)i$
• Deiling: $\frac{z}{w} = \frac{z \bar{w}}{|w|^2} = \frac{\left(x_1+y_1 i\right)\left(x_2-y_2 i\right)}{x_2^2+y_2^2}$

• Margföldunarandhverfa: Ef $zw = 1$ eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:

$z=\frac{\bar{w}}{|w|^2}$ eða $w=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$

Ef $z = x + yi$ er talan $\bar{z} = x - yi$ sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

$z + \bar{z} = 2x$

$z - \bar{z} = 2yi$

$z\bar{z}=|z|^2$

$\frac{z}{\bar{z}}=\frac{z^2}{|z|^2}$

Hlutar tvinntölu

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar $z = x + yi$ er notað fallið $\Re \left(z\right)$ og er það skilgreint svo:

$\Re \left( z \right) = x = \frac{1}{2} \left( z + \bar{z} \right)$

Fyrir þverhlutann er fallið $\Im \left(z\right)$ notað, en skilgreining þess er:

$\Im \left( z \right) = y = \frac{1}{2i} \left( z - \bar{z} \right)$

Í stað $\Re \left(z \right)$ og $\Im \left( z \right)$ er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að $\Im \left( z \right)$ gefur rauntöluna $y$, ekki þvertöluna $yi$.

Lengd tvinntalna

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

$u = p + iq,\ |u| = \sqrt{p^2 + q^2}$

Rithættir tvinntalna

Pólhnit

Pólhnit eru á forminu $\left(r,\theta\right)$, þar sem að $r$ lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og $\theta$ lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

$r = \sqrt{x^2 + y^2} \and \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ fyrir tvinntöluna $x + yi$

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

$x = r \cdot \cos\left(\theta\right)$

$y = r \cdot \sin\left(\theta\right)$

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

$\left(r\left(\cos\left(\theta\right) + i \cdot \sin(\theta\right)\right)^n = r^n \left(\cos\left(n\theta\right) + i \sin\left(n\theta\right)\right)$

Margföldun og deiling virka þannig:

$\left(a, \alpha\right)\left(b, \beta\right) = \left(a \cdot b, \alpha + \beta\right)$

$\frac{\left(a, \alpha\right)}{\left(b, \beta\right)} = \left(\frac{a}{b}, \alpha - \beta\right)$

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

$(r, \theta)^n = (r^n, n \cdot \theta)$

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

$\sqrt{(r,\theta)} = (r,\theta)^{\frac{1}{2}} = (\sqrt{r}, \frac{\theta}{2})$

Veldi

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e. $e^z$ þar sem að z er tvinntala.

$z = x + yi$

$e^z = e^{x + yi} = e^x \cdot e^{yi}$

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu $e^x$, en um þverhlutann gildir að

$e^{yi} = cos(y) + i sin(y)$

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

$z = r \cdot \left(\cos(\theta) + i \sin(\theta)\right)$

má segja að:

$z = x + iy = (r, \theta) = r e^{i\theta}$

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

$z_1 \cdot z_2 = r_1e^{i\phi_1} \cdot r_2e^{i\phi_2} = r_1r_2 \cdot e^{i\phi_1 + i\phi_2} = r_1r_2 \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu:

$e^{i\phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi) \and e^{-i\phi} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)$

$\cos(\phi) = \frac{e^{i\phi} + e^{-i\phi}}{2} \and \sin(\phi) = \frac{e^{i\phi} - e^{-i\phi}}{2i}$