Tómamengi

Tómamengi eða tómt mengi er mengi, sem inniheldur engin stök. Í frumsendulegri mengjafræði er það til samkvæmt frumsendunni um tómamengi og eru öll endanleg mengi búin til út frá því.

Ýmsir eiginleikar í mengjafræði eru augljóslega sannir um tómamengið.

Táknmál

Tómamengið er oft táknað með "$\varnothing$" eða "$\emptyset$" sem dregið er af stafnum Ø í Danska og Norska stafrófinu, innleit af Bourbaki hópnum (nánar tiltekið af André Weil) árið 1939 [1]. Einnig oft táknað með "{}".

Eiginleikar

• Fyrir öll mengi A er tómamengið hlutmengi í A:

  ∀A: ∅ ⊆ A

• Fyrir öll mengi A er sammengi A og tómamengisins jafnt A:

  ∀A: A ∪ ∅ = A

• Fyrir öll mengi A er sniðmengi A og tómamengisins tómt:

  ∀A: A ∩ ∅ = ∅

• Fyrir öll mengi A er mengjamargfeldi A og tómamengisins tómt:

  ∀A: A × ∅ = ∅

• Eina hlutmengið í tómamenginu er tómamengið sjálft:

  ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• Fjöldi staka í tómamenginu (það er fjöldatala þess) er núll, þar með er tómamengið endanlegt:

  |∅| = 0

• Fyrir sérhvern eiginleika gildir:
  • fyrir sérhvert stak í ∅ gildir eiginleikinn (innihaldslaus sannleikur)
  • það eru engin stök í ∅ sem eiginleikinn gildir um.
• Á hinn bóginn: ef um einhvern eiginleika gildir:
  • um sérhvert stak í V gildir eiginleikinn
  • það er ekkert stak í V sem eiginleikinn gildir um

þá er V = ∅

Stærðfræðingar tala um "tómamengið" frekar en "tómt mengi". Í mengjafræði er tvö mengi jöfn ef þau innihalda sömu stök, þar af leiðandi getur einungis eitt mengi innihaldið engin stök.

Sem hlutmengi í rauntalnalínunni (eða almennar, grannrúmi) er tómamengið bæði opið- og lokað mengi. Allir jaðarpunktar þess (sem eru engir) eru í tómamenginu og það er því lokað, en um alla punkta í því (sem eru jú engir) gildir að til er opin grennd sem er innihaldin í tómamenginu og það er því opið. Lokunin er því tómamengið sjálft. Einnig er tómamengið þjappað þar sem öll endanleg mengi (á rauntalnalínunni) eru þjöppuð.

Algeng vandamál

Tómamengið er ekki það sama og ekkert, það er mengið sem inniheldur ekkert en mengið sjálft er eitthvað. Þetta veldur oft misskilningi hjá þeim sem eru að kynnast tómamenginu í fyrsta skiptið. Stundum hjálpar að hugsa um mengi sem poka sem inniheldur þau stök sem eru í menginu, þá er tómamengið einfaldlega tómur poki, sem er svo sannarlega eitthvað.

Heimildir

• Orðasafn Íslenska Stærðfræðafélagsins

Fyrirmynd greinarinnar var „Empty set“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 9. nóvember 2006.

Tengt efni

• Tómastrengur