Tómamengi

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Tómamengi[1] eða tómt mengi[1] er mengi, sem inniheldur engin stök. Í frumsendulegri mengjafræði er það til samkvæmt frumsendunni um tómamengi og eru öll endanleg mengi búin til út frá því.

Ýmsir eiginleikar í mengjafræði eru augljóslega sannir um tómamengið.

Táknmál[breyta]

Tómamengið er oft táknað með "\varnothing" eða "\emptyset" sem dregið er af stafnum Ø í Danska og Norska stafrófinu, innleit af Bourbaki hópnum (nánar tiltekið af André Weil) árið 1939 [1]. Einnig oft táknað með "{}".

Eiginleikar[breyta]

  • Fyrir öll mengi A er tómamengið hlutmengi í A:
    A: ∅ ⊆ A
  • Fyrir öll mengi A er sammengi A og tómamengisins jafnt A:
    A: A ∪ ∅ = A
  • Fyrir öll mengi A er sniðmengi A og tómamengisins tómt:
    A: A ∩ ∅ = ∅
  • Fyrir öll mengi A er mengjamargfeldi A og tómamengisins tómt:
    A: A × ∅ = ∅
  • Eina hlutmengið í tómamenginu er tómamengið sjálft:
    A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
  • Fjöldi staka í tómamenginu (það er fjöldatala þess) er núll, þar með er tómamengið endanlegt:
    |∅| = 0
  • Fyrir sérhvern eiginleika gildir:
    • fyrir sérhvert stak í ∅ gildir eiginleikinn (innihaldslaus sannleikur)
    • það eru engin stök í ∅ sem eiginleikinn gildir um.
  • Á hinn bóginn: ef um einhvern eiginleika gildir:
    • um sérhvert stak í V gildir eiginleikinn
    • það er ekkert stak í V sem eiginleikinn gildir um
þá er V = ∅

Stærðfræðingar tala um "tómamengið" frekar en "tómt mengi". Í mengjafræði er tvö mengi jöfn ef þau innihalda sömu stök, þar af leiðandi getur einungis eitt mengi innihaldið engin stök.

Sem hlutmengi í rauntalnalínunni (eða almennar, grannrúmi) er tómamengið bæði opið- og lokað mengi. Allir jaðarpunktar þess (sem eru engir) eru í tómamenginu og það er því lokað, en um alla punkta í því (sem eru jú engir) gildir að til er opin grennd sem er innihaldin í tómamenginu og það er því opið. Lokunin er því tómamengið sjálft. Einnig er tómamengið þjappað þar sem öll endanleg mengi (á rauntalnalínunni) eru þjöppuð.

Algeng vandamál[breyta]

Tómamengið er ekki það sama og ekkert, það er mengið sem inniheldur ekkert en mengið sjálft er eitthvað. Þetta veldur oft misskilningi hjá þeim sem eru að kynnast tómamenginu í fyrsta skiptið. Stundum hjálpar að hugsa um mengi sem poka sem inniheldur þau stök sem eru í menginu, þá er tómamengið einfaldlega tómur poki, sem er svo sannarlega eitthvað.

Heimildir[breyta]

Fyrirmynd greinarinnar var „Empty set“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 9. nóvember 2006.

Tengt efni[breyta]

Tilvísanir[breyta]

  1. 1,0 1,1 Empty set