Fourier–vörpun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita

Fourier-vörpun er vörpun, sem varpar falli yfir í fallagrunn sínuslaga grunnfalla, þ.e.a.s. lýsir fallinu sem línulegri samantekt sínuslaga falla. Nefnd eftir stærðfræðingnum Jean Baptiste Joseph Fourier.

Notagildi Fourier-vörpunar[breyta]

Fourier-vörpunin hefur margvíslegt notagildi í vísindum s.s. í eðlisfræði, talnafræði, talningafræði, merkjafræði, líkindafræði, tölfræði, dulkóðun, hljóðtækni, sjómælingum, ljósfræði, rúmfræði og á fleiri sviðum. (Í merkjavinnslu og skyldum greinum er hugsunarhátturinn sá að Fourier-vörpunin skipti falli upp í hina mismunandi tíðniþætti sína og skili útslagi og fasa fyrir hvern tíðniþátt.) Þetta fjölbreytta notagildi helgast af nokkrum gagnlegum eiginleikum vörpunarinnar:

  • Vörpunin er gagntæk, og reyndar hafa andhverfa vörpunin og vörpunin sjálf mjög áþekkt form.
  • Sínuslaga grunnföllin eru eiginföll deildunar. Þess vegna færir Fourier-vörpun línulegar deildajöfnur með fastastuðla yfir á form algebrískra jafna.
  • Samkvæmt földunarsetningunni, jafngildir margföldun í Fourier-grunninum földun í upprunalega grunninum. Þetta er óspart notað til að flýta fyrir reikningum sem byggja á földun, s.s. stafrænum síunaraðgerðum og fleiru.
  • Til er afbrigði Fourier-vörpunar til notkunar á stakræn föll af endanlegri lengd. Þá er talað um endanlega stakræna Fourier-vörpun (Discrete Fourier Transform, DFT, á ensku). Hana er hægt að framkvæma sérstaklega hratt með notkun algríma sem kallast hraðar Fourier-varpanir (Fast Fourier Transform, FFT).

Afbrigði Fourier-vörpunar[breyta]

Samfelld Fourier-vörpun[breyta]

Sérhvert fall f(t) með endanlega orku má tákna sem summu tvinnveldisfalla með horntíðnir ω og tvinngilt útslag F(ω):

f(t) = \mathfrak{F}^{-1}(F)(t)
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

Þetta er reyndar andhverfa samfellda Fourier-vörpunin, en sjálf Fourier-vörpunin táknar F(ω) út frá f(t). Upprunalega fallið og vörpun þess kallast Fourier-par. Sjá Samfelld Fourier-vörpun (á ensku) með frekari upplýsingum, þ.m.t. töflu yfir mikilvæg Fourier-pör, upplýsingum um eiginleika vörpunarinnar og fleira.

Fourier-raðir[breyta]

Samfellda Fourier-vörpunin er í raun alhæfing eldri hugmyndar, Fourier-raðarinnar, sem er eingöngu skilgreind fyrir lotubundin (eða endanleg í tíma) föll f(x) (með lotu 2π), og setur slík föll fram sem summu raðar sínuslaga falla:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,

þar sem F_n er (tvinngilt) útslag. Fyrir raungild föll má einnig tákna Fourier-röðina svo:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

þar sem an og bn eru (raungilt) útslag fyrir Fourier-röðina.