Ójafna Chebyshevs

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Jump to navigation Jump to search

Ójafna Chebyshevs er ójafna í líkindafræði sem segir að í líkindadreifingum eða úrtökum eru næstum öll gildi nálægt meðaltalinu. Til dæmis eru aldrei fleiri en 1/4 gildanna í meiri en 2 staðalfrávika fjarlægð frá meðaltalinu, og aldrei meira en 1/9 gildanna í meira en 3 staðalfrávika fjarlægð.

Ójafnan er nefnd eftir Pafnuty Chebyshev, sem sannaði hana fyrstur manna.

Ójafna Chebyshevs er mikið notuð í ályktunartölfræði, þá sér í lagi í tengslum við normaldreifingar. Þar gildir að 95% staka eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu.

Ójafnan[breyta | breyta frumkóða]

Látum vera líkindarúm og vera slembibreytu. Þá gildir:

Þar sem að E(X) táknar væntigildið á X, og Var(X) táknar dreifni þess.

Einföld sönnun[breyta | breyta frumkóða]

Ein af einföldustu sönnunum á ójöfnu Chebyshevs notast við ójöfnu Markovs:

Ef gildir að

Sönnum að ójafna Chebyshevs gildi fyrir slembibreytuna X. Setjum fyrst . Þá er Y slembibreyta. Þá gildir að væntigildið á Y er .

Þá er sönnunin einföld:

sem samkvæmt ójöfnu Markovs gefur:

Sem er ójafna Chebyshevs ef skipt er út E(Y) fyrir Var(X) og fyrir .

Tengt efni[breyta | breyta frumkóða]