Ójafna Chebyshevs

Ójafna Chebyshevs er ójafna í líkindafræði sem segir að í líkindadreifingum eða úrtökum eru næstum öll gildi nálægt meðaltalinu. Til dæmis eru aldrei fleiri en 1/4 gildanna í meiri en 2 staðalfrávika fjarlægð frá meðaltalinu, og aldrei meira en 1/9 gildanna í meira en 3 staðalfrávika fjarlægð.

Ójafnan er nefnd eftir Pafnuty Chebyshev, sem sannaði hana fyrstur manna.

Ójafna Chebyshevs er mikið notuð í ályktunartölfræði, þá sér í lagi í tengslum við normaldreifingar. Þar gildir að 95% staka eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu.

Ójafnan

Látum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ vera líkindarúm og $X$ vera slembibreytu. Þá gildir:

$P(|{\textrm {E}}(X)-X|>\epsilon )<{\frac {{\textrm {Var}}(X)}{\epsilon ^{2}}}\quad ;\quad \epsilon >0$

Þar sem að E(X) táknar væntigildið á X, og Var(X) táknar dreifni þess.

Einföld sönnun

Ein af einföldustu sönnunum á ójöfnu Chebyshevs notast við ójöfnu Markovs:

Ef $P(X\geq 0)=1$ gildir að $P(X>\alpha )\leq {\frac {{\textrm {E}}(X)}{\alpha }}\quad ;\quad \alpha >0$

Sönnum að ójafna Chebyshevs gildi fyrir slembibreytuna X. Setjum fyrst $Y=(X-{\textrm {E}}(X))^{2}$. Þá er Y slembibreyta. Þá gildir að væntigildið á Y er ${\textrm {E}}(Y)={\textrm {E}}((X-{\textrm {E}}(X))^{2})={\textrm {Var}}(X)$.

Þá er sönnunin einföld:

$P(|X-{\textrm {E}}(X)|>\epsilon )=P(Y>\epsilon ^{2})$

sem samkvæmt ójöfnu Markovs gefur:

$P(Y>\epsilon ^{2})\leq {\frac {{\textrm {E}}(Y)}{\epsilon ^{2}}}$

Sem er ójafna Chebyshevs ef skipt er út E(Y) fyrir Var(X) og $Y>\epsilon ^{2}$ fyrir $X>\epsilon$.

Tengt efni

• Ójafna Markovs