Teljanlegt mengi

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Bijection.svg

Teljanlegt mengi er mengi , sem er þannig búið að mögulegt er að setja fram gagntæka vörpun frá því á hlutmengi náttúrulegu talnanna. Ef inniheldur óendanlega mörg stök (t.d. ef er mengi frumtalnanna eða sléttu talnanna) er ennfremur teljanlega óendanlegt. Sé mengi ekki teljanlegt er það kallað óteljanlegt.

Dæmi[breyta | breyta frumkóða]

  • Sérhvert endanlegt mengi er teljanlegt þar sem unnt er að ganga á röðina af stökunum (röðin skiptir ekki máli) og úthluta hverju staki næstu náttúrulegu tölu, þar sem við byrjum á 1. Þessi aðgerð tekur enda því mengið er endanlegt, svo vörpunin er einfaldlega milli mengisins og fyrstu n náttúrulegu talnanna (sem er hlutmengi í ) og er augljóslega gagntæk.
  • Mengi sléttra talna S er teljanlega óendanlegt. Þetta fæst beint út úr skilgreiningunni, þar sem S er jú hlutmengi í . Hins vegar getum við sýnt að hægt sé að varpa S beint á mengi náttúrulegra talna. Smíðum vörpun þannig að fyrir sérhvert náttúrulegt k. Með öðrum orðum deilir sléttri tölu með tveimur til að finna samsvarandi náttúrulega tölu. Þessi vörpun er eintækt fall: ef fyrir einhver i,j í S þá er og því . Hún er ennfremur átæk: töluna má rita sem , svo er gagntæk. Því er S teljanlegt. Við höfum í raun sýnt hvernig beri að sanna jafngildi skilgreiningunnar við þá sem krefst þess að gagntæka vörpunin sé yfir á allt (svo fremi sem mengið sé ekki endanlegt).
  • Mengi ræðra talna er teljanlegt (sjá hlekk), eins og Georg Cantor sýndi fram á með dúfustélsaðferð sinni. Þetta hefur þá afleiðingu að tvívíð hnit, og almennara í hærri víddum, eru teljanleg mengi þar sem hægt er að ímynda sér að ræða talan sé nákvæmlega talnatvenndin .
  • Mengi óræðra talna er hins vegar óteljanlegt, eins og Cantor sýndi einnig fram á.
  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.