Teljanlegt mengi

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Stökkva á: flakk, leita
Bijection.svg

Teljanlegt mengi er mengi A, sem er þannig búið að mögulegt er að setja fram gagntæka vörpun frá því á hlutmengi B \subseteq \mathbb{N} náttúrulegu talnanna. Ef B inniheldur óendanlega mörg stök (t.d. ef B er mengi frumtalnanna eða sléttu talnanna) er A ennfremur teljanlega óendanlegt. Sé mengi ekki teljanlegt er það kallað óteljanlegt.

Dæmi[breyta]

  • Sérhvert endanlegt mengi er teljanlegt þar sem unnt er að ganga á röðina af stökunum (röðin skiptir ekki máli) og úthluta hverju staki næstu náttúrulegu tölu, þar sem við byrjum á 1. Þessi aðgerð tekur enda því mengið er endanlegt, svo vörpunin er einfaldlega milli mengisins og fyrstu n náttúrulegu talnanna (sem er hlutmengi í \mathbb{N}) og er augljóslega gagntæk.
  • Mengi sléttra talna S er teljanlega óendanlegt. Þetta fæst beint út úr skilgreiningunni, þar sem S er jú hlutmengi í \mathbb{N}. Hins vegar getum við sýnt að hægt sé að varpa S beint á mengi náttúrulegra talna. Smíðum vörpun \phi : S \rightarrow \mathbb{N} þannig að \phi(2k) = k fyrir sérhvert náttúrulegt k. Með öðrum orðum deilir \phi sléttri tölu með tveimur til að finna samsvarandi náttúrulega tölu. Þessi vörpun er eintækt fall: ef \phi(i) = \phi(j) fyrir einhver i,j í S þá er i/2 = j/2 og því i = j. Hún er ennfremur átæk: töluna n \in \mathbb{N} má rita sem \phi(2n) = n, svo \phi er gagntæk. Því er S teljanlegt. Við höfum í raun sýnt hvernig beri að sanna jafngildi skilgreiningunnar við þá sem krefst þess að gagntæka vörpunin sé yfir á allt \mathbb{N} (svo fremi sem mengið sé ekki endanlegt).
  • Mengi ræðra talna er teljanlegt (sjá hlekk), eins og Georg Cantor sýndi fram á með dúfustélsaðferð sinni. Þetta hefur þá afleiðingu að tvívíð hnit, og almennara \mathbb{N}^k í hærri víddum, eru teljanleg mengi þar sem hægt er að ímynda sér að ræða talan \frac{x}{y} sé nákvæmlega talnatvenndin (x,y).
  • Mengi óræðra talna er hins vegar óteljanlegt, eins og Cantor sýndi einnig fram á.
  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.