Pascal-þríhyrningur

Pascal-þríhyrningur eða þríhyrningur Pascals er í stærðfræði þríhyrningur af tölum sem raðað er upp eftir kerfi sem Blaise Pascal lýsti, sem nú er þekkt sem einkenni Pascals^(en):

${n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}$.

Þessi eiginleiki gerir það að verkum að hægt er að raða niðurstöðunum upp á eftirfarandi hátt:

fyrstu 17 hæðirnar

Í stærðfræði er Pascals-þríhyrningur óendanlegur þríhyrningslaga fylking tvíliðastuðla sem gegna lykilhlutverki í líkindafræði, samsetningarfræði og algebru. Í stórum hluta Vesturlanda er hann nefndur eftir franska stærðfræðingnum Blaise Pascal (en á Ítalíu er þríhyrningurinn kallaður þríhyrningur Tartaglia, nefndur eftir ítalska algebrufræðingnum Niccolò Tartaglia (1500–1577), sem birti sex raðir þríhyrningsins árið 1556, áður en Pascal fæddist, og hann er líka nefndur eftir mörgum öðrum frá öldum áður).

Mynstur talnanna sem mynda Pascal-þríhyrninginn var þekkt löngu fyrir tíma Pascals. Persneski stærðfræðingurinn Al-Karaji (953–1029) skrifaði bók sem er nú glötuð bók sem innihélt fyrstu lýsinguna á Pascal-þríhyrningnum.

Eiginleikar Pascal þríhyrningsins

Ellefu-veldið

Sjá má mjög fljótlega að fyrstu raðir Pascal-þríhyrningsins stafa út n-ta veldi af 11:

$11^{0}=1$

$11^{1}=11$

$11^{2}=121$

$11^{3}=1331$

$11^{4}=14641$

Reglan fellur þó ekki um sig á efri stigum, heldur verður hún bara ekki jafn ljós - $11^{5}\neq 15101051$, augljóslega, heldur $11^{5}=161051$. Þ.e., þar sem að tugir koma fyrir í gildum þríhyrningsins legst tugurinn við næsta sæti fyrir ofan, og einingin verður eftir.

Einkenni Vandermondes

Lát $m,n,r\in \mathbb {N} ;r<n;r<m$. Þá gildir:

${m+n \choose r}=\sum _{k=0}^{r}{m \choose r-k}{n \choose k}$.

Þessi regla er kennd við Alexandre-Théophile Vandermonde, sem uppgötvaði regluna á átjándu öld.

Tvíliðureglan

Tvíliðureglan notast við stuðla úr Pascal-þríhyrningnum. Til dæmis er $(a+b)^{4}=(1)a^{4}+(4)a^{3}b+(6)a^{2}b^{2}+(4)ab^{3}+(1)b^{4}$, en stuðlarnir (í svigum) passa við 5. línu Pascal þríhyrningsins (fyrsta línan samsvarar $(a+b)^{0}$).

Fibbonacci runan

Fibonacciruna kemur fyrir í skálínum Pascal-þríhyrningsins:

Fibbonacci runan í Pascal þríhyrningnum.

Ef summaðar eru upp gráleitu tölurnar er summan stak í Fibbonacci rununni. Sama gildir um innrömmuðu tölurnar, og hvaða skálínu sem er.

Sönnun á einkenni Pascals

Ímyndum okkur að til sé mengi $T$ sem hefur $n+1$ stak. Lát $a$ vera stak í $T$ og lát $S=T\setminus \left\{a\right\}$. Sjáum að til eru ${n+1 \choose k}$ hlutmengi í $T$ sem innihalda $k$ stök (Sjá: Samantektir). Hinsvegar inniheldur hlutmengi í $T$ með $k$ stökum ýmist $a$, ásamt $k-1$ öðrum stökum úr $S$, eða það inniheldur $k$ stök úr $S$ en ekki $a$. Þar sem að það eru ${n \choose k-1}$ hlutmengi af $k-1$ staki úr $S$, þá eru til ${n \choose k-1}$ hlutmengi með $k$ stökum úr $T$ sem innihalda $a$. Auk þess eru ${n \choose k}$ hlutmengi af $T$ með $k$ stökum sem innhalda ekki $a$, þar sem að það eru ${n \choose k}$ hlutmengi af $S$ með $k$ stökum. Þar af leiðir:

${n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}$.

$\Box$ (Fléttufræðileg sönnun).

Tengt efni

• Blaise Pascal
• Samantektir
• Tvíliðureglan