Formleg veldaröð

Formleg veldaröð er algebrísk lýsing eða almenn útfærsla á margliðum, þar sem litið er á þær sem formlegt stærðtákn, það er breytistærðir hennar eru almenn tákn en ekki takmarkaðar við ákveðið svið og liðir hennar geta verið óendanlega margir. Formleg veldaröð er þannig ólík hefðbundnum veldaröðum sem geta skilgreint ákveðið fall eða tölu ef veldaröðin er samleitin. Formlegar veldaraðir hafa mikið notagildi í algebrískri fléttufræði, þær eru notaðar til þess að finna lokaða yrðingu útfrá gefnum rakningarvenslum eða runum (svo sem fyrir Fibonacci tölurnar) eða sambönd milli rakningarvensla eða runa, þetta kallast að finna framleiðandi fall útfrá runu eða rakningarvenslum.

Formleg lýsing

Formleg veldaröð S af almennri breytistærð X er formlega stærðtáknið:

$S:=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}X^{n}$

Mengi allra formlegra veldraraða af breytistærð X með stuðlum úr víxlbaugnum R er táknað R[[X]]. Við getum litið á formlegu veldaröðina sem runu af stuðlum í R og getum þannig skilgreint summu sem: $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, margfeldi með staki c úr R með: $c(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(ca_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ og margfeldi sem:

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

Stig formlegrar veldaraðar er skilgreint líkt og stig margliðu: $stigS:=sup\{n\in \mathbb {Z} :a_{n}\neq 0\}$ og stærðin $\omega (S):=inf\{n\in \mathbb {Z} :a_{n}\neq 0\}$ nefnist raðstig S.