Brotamynd

Brotamynd, eða broti (e. fractal) er stærðfræðilegt mynstur sem hefur þann eiginleika að vera svipaður á öllum stærðargráðum. Þeir eru fullir af smáatriðum því að þegar brotinn er skoðaður á smærri skala þá finnast ný mynstur, keimlík þeim sem eru á stærri skala.

„Ský eru ekki kúlur, fjöll ekki keilur, strandir ei hringir og hvorki er trjábörkur sléttur né fer elding í beina línu.“ - Benoit Mandelbrot, stærðfræðingur sem gerði brota fræga með Mandelbrotmenginu.

Stærðfræðilega þá eru brotar mengi sem býr yfir tilteknum eiginleikum. Þeir einkennast af endurkvæmni, og verða til með endurkvæmum (e. recursive) reglum. Það eru þrír eiginleikar sem einkenna brota: 1) Þeir hafa brotatöluvídd 2) Þeir eru sjálfsvipaðir (og stundum sjálfsamhverfir) 3) Þeir eru ódeildanlegir

Brotatöluvídd

Nafnið er til komið vegna þess að víddin á brotanum er ekki heiltala, heldur brot. Þegar hliðarlengdin í ferningi er tvöfölduð, þá fjórfaldast flatarmálið (tvöföldun í öðru veldi), en þegar einvíð lengd brota er tvöfölduð þá margfaldast flatarmálið í veldi sem er ekki heiltala, t.d. 1.678. Vídd þekkjum við sem verur sem þrífast í þrívíðu rúmi. Stærðfræðileg vídd mengis er nefnd eftir þýska stærðfræðingnum Felix Hausdorff sem að er einn af feðrum grannfræðinnar (e. topology).

Hausdorff-víddin er mælikvarði á hrjúfleika hluta. Hausdorff-vídd „venjulegra“ hluta, sem eru sléttir og með fá horn er heiltala, en fyrir flókin sjálfsamhverf mynstur er hún brotatala. Koch-snjókornið var ein fyrsti brotinn sem var uppgötvaður. Hann er þannig að maður byrjar með þríhyrning og bætir svo við smærri þríhyrning á hverja hlið þríhyrningsins. Í næsta skrefi bætirðu við enn smærri þríhyrningi á hverja hlið þeirra, o.s.frv. út í hið óendanlega.

Fyrsta skrefið, klassíski þríhyrningurinn, hefur heiltöluvídd en þau síðari ekki. Í hverju skrefi lengist ferillinn örlítið, því það bætast við fleiri litlir þríhyrningar, svo ferillinn lengist út í hið óendanlega og fer yfir mörkin á milli ein- og tvívíddar.

Sjálfsvipuð mynstur

Koch-snjókornið er eins sama á hvaða stærðargráðu það er skoðað, en það er sá eiginleiki brota sem einkennir þá hvað helst. Fyrsta dæmið um brota sem var uppgötvað, hin eiginlega brotaprótótýpa er Cantor-mengið, nefnd eftir brautryðjandanum Georg Cantor. Stærðfræði er sameiginlegt verkefni mannkynsins og fæstir stærðfræðingar ná að þróa hana áfram af einhverju viti einir og sér. Margt smátt gerir eitt stórt. En Cantor var undantekning. Fáir hafa haft eins afgerandi áhrif á stuttum tíma á framgang stærðfræðinnar og hann. Cantor fann upp mengjafræði (sem er í dag grundvöllur allrar stærðfræði) og umbylti hugmyndum mannanna um óendanleikann.

Cantor-mengið hefur marga magnaða eiginleika, þar á meðal að það er sjálfsvipað (e. self-similar): það samanstendur af tveimur smækkuðum útgáfum af sjálfu sér. Það er einungis strjált strik í einni vídd, en tví- og þrívíðar útgáfur af því eru nefnd eftir pólska stærðfræðingnum Waclaw Sierpinski (1882-1969). Serpinski-þríhyrningurinn var formlega skilgreindur á 20. öld en fyrirfinnst í arkitektúr og list frá því á miðöldum.

Brotar eru ferlar sem eru ekki línur

Cantor rannsakaði líkaföll sem hegða sér óvenjulega og illa. Áður var talið að ef fall er samfellt (óbrotið) þá er það deildanlegt (vex ákveðið hratt í eina átt í hverjum punkti).

Það er hægt að deilda föll sem notuð eru í hefðbundnum vísindum. Að deilda fall er eins og að mæla feril með reglustiku; þú getur nálgað bogin feril með fullt af litlum beinum strikum. Í hverjum punkti er hallinn á ferlinum sami og hallatala striksins í punktinum. Síðan er hægt að mæla lengd ferilsins með því að leggja saman lengd allra litlu strikanna.

En ef ferillinn er broti, þá er aldrei hægt að nálga hann með striki (línulega), sama hversu smátt það er, því alltaf finnst enn smærri smásær (e. micro) strúktúr þegar nánar er gáð! Við getum reynt að nálga hlið Koch-snjókornsins línulega en lendum alltaf á öðrum þríhyrningi, sama hversu smámunasöm og nákvæm við reynum að vera.